定理
对于所有 x , y ∈ R n , ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ x, y \in \Bbb R^n, \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\| x,y∈Rn,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥，其中对于 x ∈ R n x \in \Bbb R^n x∈Rn, ∥ x ∥ 2 = ∑ i = 1 n x i 2 \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x^2_i} ∥x∥2=i=1∑nxi2
证明
柯西不等式：
( ∑ k = 1 n a k b k ) 2 ≤ ∑ k = 1 n a k 2 ∑ k = 1 n b k 2 \left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2 \leq \sum_{k=1}^na_k^2\sum_{k=1}^nb_k^2 (k=1∑nakbk)2≤k=1∑nak2k=1∑nbk2
利用柯西不等式，证明过程如下：
∥ x + y ∥ = ∑ i = 1 n ( x i + y i ) 2 = ∑ i = 1 n ( x i 2 + y i 2 + 2 x i y i ) \|x+y\| = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i+y_i)^2} = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i^2+y_i^2+2x_iy_i}) ∥x+y∥=i=1∑n(xi+yi)2=i=1∑n(xi2+yi2+2xiyi) ≤ ∑ i = 1 n ( x i 2 + y i 2 ) + 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n y i 2 \leq\sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i^2+y_i^2)+2\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2\sum^n_{i=1}y_i^2}} ≤i=1∑n(xi2+yi2)+2i=1∑nxi2i=1∑nyi2 = ∑ i = 1 n x i 2 + ∑ i = 1 n y i 2 + 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n y i 2 =\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2+\sum^n_{i=1}y_i^2+2\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}\sqrt{\sum^n_{i=1}y_i^2}} =i=1∑nxi2+i=1∑nyi2+2i=1∑nxi2i=1∑nyi2 = ∑ i = 1 n x i 2 + ∑ i = 1 n y i 2 =\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}+\sqrt{\sum^n_{i=1}y_i^2} =i=1∑nxi2+i=1∑nyi2 = ∥ x ∥ + ∥ y ∥ =\|x\|+\|y\| =∥x∥+∥y∥
证毕
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