循环码
循环码是线性分组码的一个重要子集，是目前研究得最成熟的一类码。它有许多特殊的代数性质，这些
性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造这类码，且易于实现；同时循环码的性能也较好，具有较强的检错
和纠错能力。
一、 循环码的特点
循环码最大的特点就是码字的循环特性，所谓循环特性是指：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所
得到的码组仍然是许用码组。若（
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… 
）为一循环码组，则（ 
… ）、（
… ）、……还是许用码组。也就是说，不论是左移还是右移，也不论移多少位，仍然是许用的循
环码组。表8-7给出了一种（7，3）循环码的全部码字。由此表可以直观地看出这种码的循环特性。例如，表中
的第2码字向右移一位，即得到第5码字；第6码字组向右移一位，即得到第3码字。
为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项是来表示，这个多项式被称为码多项式，对于许用循
环码A=( … )，可以将它的码多项式表示为：
（8-20）
对于二进制码组，多项式的每个系数不是0就是1，x仅是码元位置的标志。因此，这里并不关心x的取值。而
表8-7中的任一码组可以表示为：
（8-20）
对于二进制码组，多项式的每个系数不是0就是1，x仅是码元位置的标志。因此，这里并不关心x的取值。
而表8-7中的任一码组可以表示为：
（8－21）
表8-7一种（7，3）循环码的全部码字
| 序号 |
码字 |
序号 |
码字 |
|||
| 信息位 a6 a5 a4 |
监督位 a3 a2 a1 a0 |
信息位 a6 a5 a4
|
监督位 a3 a2 a1 a0 |
|||
| 1 |
0 0 0 |
0 0 0 0 |
5 |
1 0 0 |
1 0 1 1 |
|
| 2 |
0 0 1 |
0 1 1 1 |
6 |
1 0 1 |
1 1 0 0 |
|
| 3 |
0 1 0 |
1 1 1 0 |
7 |
1 1 0 |
0 1 0 1 |
|
| 4 |
0 1 1 |
1 0 0 1 |
8 |
1 1 1 |
0 0 1 0 |
|
例如，表中的第7码字可以表示为：
（8-22）
在整数运算中，有模n运算。例如，在模2运算中，有1+1＝2≡0（模2），1+2＝3≡1（模2），2×3＝6≡0
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