1. 首页首页
  2. 科技前沿科技前沿

2025年特殊的矩阵与特殊的矩阵关系———实对称、正定、对角、零矩阵

科技前沿 • • 阅读 20

特殊的矩阵与特殊的矩阵关系———实对称、正定、对角、零矩阵一 特殊的矩阵 1 实对称矩阵 定义 都是实数 且 性质 1 可以用特征值来求 A 的大小 2 可以得到 A 的秩 3 必定可以相似对角化 运用

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

一、特殊的矩阵

1、实对称矩阵

定义：a{_{ii}}
讯享网都是实数，且A^{T} = A

性质：A \sim \Lambda 

（1）可以用特征值来求A的大小

（2）可以得到A的秩

（3）必定可以相似对角化

运用：

与实对称矩阵A合同的矩阵B，必定是实对称矩阵，这一性质可以用来排除某些选项

2、对角矩阵

定义：只有主对角线上有元素的矩阵

性质：

（1）对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵

运用：

（1）特征值，秩

（2）证明A，B相似的中介

A \sim \Lambda \-\ B \sim \Lambda\Rightarrow A \sim B

3、正定矩阵

定义：二次型x^TAx，恒有x \neq 0 , x^TAx > 0，则称实对称矩阵A为正定矩阵

n阶正定矩阵的充分必要条件：

（1）A的正惯性指数是n

（2）A与E合同

（3）特征值均为正数

（4）各阶顺序主子式均大于0

必要条件：

（1）a_{ii}>0

（2）\left | A \right | > 0

4、零矩阵

定义：所有元素均为0

特殊的性质：

（1）若AB = O， 则A = O \-\ or \-\ B = O。这是错误的！逆命题也是不对的。

（2）若B \neq O ，则B可逆。是错误的！

（3）若AB = O , B \neq O \Rightarrow Ax = 0存在非零解，则A的秩小于n

5、可逆矩阵

（1）|A| \neq 0

（2）A^{-1} = \frac{A^{*}}{|A|}

如果A可逆，则Ax = 0 ，存在非零解

6、正交矩阵

（1）A^TA = AA^T

（2）A^T = A^{-1}

（3）|A|^{2} = 1

二、特殊矩阵关系

1、相似P^{-1}AP=B

（1）|A| = |B| ;r(A) = r(B);\lambda_{A} = \lambda_{B};\sum a_{ii} = \sum b_{ii}

（2）r(\lambda E - A) = r(\lambda E - B)  可用来判断A，B是否相似

2、合同 C^{T}AC=B

（1）正、负惯性指数相同

（2）x^{T}Ax 与 y^{T}By有相同的规范型

​​​​​​​若C是正交矩阵则，A、B相似

注意：可逆线性变换和正交变换的区别，前者只能通过配方法，后者可以用求正交矩阵P来求B

A \simeq B \rightleftharpoons r(A) = r(B) ,p_{A}=p_{B},q_{A}=q_{B}

小讯
上一篇 2025-01-28 21:11
下一篇 2025-03-15 13:11

相关推荐

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容，请联系我们，一经查实，本站将立刻删除。
如需转载请保留出处：https://51itzy.com/kjqy/18998.html