【信号与系统学习笔记】——奇异函数家族及其性质

科技前沿 • 2025-01-29 07:10 • 阅读 38

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我们在之前的学习中知道，单位冲激函数是一类奇异函数。我们来回顾一下单位冲激函数的操作性定义： $x (t) = x (t) * δ (t)$
也就是说，任何一个信号与单位冲激函数做卷积的结果还是这个信号本身。

那么我们下面再引入其他的一些奇异函数。

$u_1(t)$ ：我们对他的操作性定义是： $\frac{dx(t)}{dt} = x(t) * u_1(t)$
也就是说，任何一个可导的信号与这个奇异函数 $u_1(t)$ 卷积的结果，就相当于对这个信号求一阶导。

进一步，我们还可以有 $u_2(t)$ ：
我们通过 $u_1(t)$ 的操作性定义可以延申：如果对信号做二阶导呢？ $\frac{d^2x(t)}{dt^2} = x(t) * u_1(t) * u_1(t)$
那么，我们就可以定义： $u_2(t) = u_1(t) * u_1(t)$ ，即 $u_2(t)$ 的操作性定义为： $\frac{d^2x(t)}{dt^2} = x(t) * u_2(t)$
也就是说，任何一个可导的信号与这个奇异函数 $u_2(t)$ 卷积的结果，就相当于对这个信号求二阶导。

以此类推， $u_3(t), u_4(t), \cdots$ 的定义也是这个道理。那么我们就得到了一部分奇异函数家族。

下面我们来看一个例子：求下面的积分：

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$\int_{-5}^{+5}u_1(1-τ)cos(2πτ)dτ$

那么这个题目，我们可以看作是信号 $c o s (2 π t)$ 与信号 $u_1(t)$ 的卷积。而 $u_1(1-t)cos(2πt)$ 这样一个表达式就是在卷积结果在 $t = 1$ 时的值。而根据我们刚刚说的 $u_1(t)$ 的操作性定义：任何一个可导的信号与这个奇异函数 $u_1(t)$ 卷积的结果，就相当于对这个信号求一阶导

所以， $\int_{-5}^{+5}u_1(1-t)cos(2πt)dt = -2πsin(2π) = 0$

我们在刚刚已经了解了 $u_1(t) , u_2(t), u_3(t), \cdots$ 等，我们发现：下标都是正数。那么下标还有没有负数的情况呢？？—— 答案是“有！”

如果说下标都是正数的情况可以视为是微分器；那么下标为负数的就可以视为积分器了。我们先来看看 $u (t)$ 的操作性定义： $\int_{-∞}^{t}x(τ)dτ$
我们也把 $u (t)$ 称之为： $u_{-1}(t)$

那么类似地： $\int_{-∞}^{t}u(τ)dτ$
我们令 $u_{-2}(t) = u_{-1}(t) * u_{-1}(t)$ ，那么就可以得到 $u_{-2}(t)$ 的操作型定义了

【信号与系统学习笔记】——奇异函数家族及其性质

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