基于本人在研一上学期的学习内容，以个人的视角，进行了一些梳理和解读。
摘要
矩阵理论作为一门应用广泛的数学基础课程，在很多行业、专业都有着重要的实用价值。所以对于这样的基础学科有必要进行系统学习，并应该掌握必要的应用方法。本文基于这样的学习目的，总结了矩阵理论的一些基础内容和应用。 包括矩阵论的基础理论、矩阵分解、矩阵分析、基础计算、Jordan 标准型等。本 文的贡献是总结了一张针对应用的矩阵理论基础框架逻辑图，涵盖了大部分科研工作中会涉及的相关概念、方法，不同于一般的知识框图，本文的工作更适用于 面向应用的角度。另外，本文也会列举一些在矩阵理论在图神经网络中的具体应用。
1 引言
随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要， 矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化 理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵 理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理 论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵 理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对 于工科研究生来说是必不可少的。
本文正文分为四个章节，第二章用于介绍本文总结的矩阵论结构框架，并介绍其中的基础理论，包括线性空间、内积空间这两个矩阵理论的重要前提，也包 括矩阵分解这一应用的基本工具。第三章用于介绍特征值估计和 Jordan 标准型两大计算工具。第四章用于介绍矩阵分析，包括矩阵函数及相应的矩阵方程、矩 阵微分方程、广义逆等。在以上的理论介绍中将穿插应用的举例。最后在第五章 将提供一个 SVD 应用于图像压缩的实验。
本文的贡献在于，基于我们组内三位同学的汇报、哈工大严老师的课程、西北工业大学的教材《矩阵论》[1]以及 Gilbert Strang 的第五版教材《Introduction to linear Algebra》[2]总结出了面向应用的矩阵理论基础知识框架，囊括了大部分基础理论、计算理论。
2 矩阵基础理论
2.1 整体框图
经过学习和整理，本文按照应用的需求，站在应用的角度，将矩阵理论的基础内容总结到一张框架图中，如图 1。
该框图分为三大部分，右侧黄**域为基础理论，包括线性空间、内积空间两大基础前提。在每个空间下有相应的度量定义、运算定义等基础内容。同时还包括重要的矩阵分解，几乎囊括了全部的分解方法。右侧的绿**域为两大计算工具：特征值估计与 Jordan 标准型，很多推论都是基于这两者而来。左侧蓝**域为矩阵分析，包含矩阵函数为主的内容，这即是矩阵理论的高级用法，整体右侧为左侧基础，右侧的下方又为上方基础。结构上从下到上从右到左为递进逻辑， 也应是矩阵理论的学习顺序。下面讲依次介绍各部分内容。
2.2 基础理论
基础理论以线性空间开始，无论是线性代数还是矩阵理论的开端都是以线性空间起头的，这是要先确定讨论的前提，只有确定了问题发生的空间，统一了运算法则和度量规则，才能继续后面的讨论。首先基础部分的空间部分框图如图 2。
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