数系最终章——复数(1)

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

大家好,在下默默无闻再次露面.今天,我们将沿着数的脚步,去探索实数外的数——虚数,以及包含它俩的数集——复数集.由于复数内容较多,对于我这个菜鸟来说实在是有些长,所以将会分2到3篇来和大家分享.

这一篇,将带领我们冲破实数的限制,叩开复数的大门......

一、虚数

(1)另一片天地——引入

有理数无法对开方运算封闭时,便引入了无理数,两者一起构成了实数.

实数很完美,很普遍.生活中处处都是实数.但在解高次多项式方程时,有个问题摆在面前:偶次根下出现了负数.

稍微接触到一元三次方程,就有这样一个问题:

解

x^3=15x+4
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会得到

$x=\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}=4$

应成立.

哪里有平方等于的实数啊,虚…

这种数简直太”荒谬”了,许多数学家都尽量避开它们.但无论怎么对其不见,这些数都强势地表现出:我们是血脉纯正的数,应与那些所谓的实数平起平坐.

先不管这些数是否”血脉纯正”,它都很”虚”——这是不争的事实.实数对开方运算仍不封闭,人们只好接受这堆不”实”的数——虚数.

虚数单位的定义就足以让我们知道它有多”虚”:

i^2=-1 .

够"虚幻"吧?

(2)"一些"性质(真的是一些)

的性质：

$\frac{1}{i}=-i,\frac{1+i}{1-i}=i,\frac{1-i}{1+i}=-i,i^{-n}=\frac{1}{i^n}$

$i^n(n\in \mathbb{Z})$ 的性质:

$i^{4n}=1,i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i$

$\omega ^n(n\in \mathbb{N}_{+},\omega ^3=1)$ 的性质:

$\omega _{1}=\frac{\sqrt{3}i-1}{2},\omega _{2}=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2},$

$1+\omega _{1}+\omega _{2}=0,\omega _{1}^{2}=\omega _{2},\omega _{2}^{2}=\omega _{1},\omega _{1}\omega _{2}=1,\omega ^{3n}=1$

(3)浅浅地应用——重新解一元二次方程

从一开始学习二次根式,我们就被反复强调:被开方数不能小于零.类似的,一元二次方程判别式的值小于零时,中学课本中管其叫”无解”.

真的无解吗?这是什么方程,都能没有数能满足它?

嗯,这方程只是在装高冷,只是实数范围内无解罢了.自从有了虚数,它就在没法装下去了.若判别式的值小于零,求根公式就得稍微变一变(可以试着推导一下):

$x=\frac{-b\pm \sqrt{-\Delta }i}{2a}\left (\Delta < 0 \right )$

还是让实际方程来帮助理解:

例(1)解方程 x^2+x+1=0

分析:显然(卷子上不要这么写), $\Delta < 0$ ,所以方程在实数范围内无解. $\Delta$ 的值为 $1^2-4\times1 \times1=-3$ ,代入上述公式即可求解.

答案: $x_1{}=\frac{\sqrt{3}i-1}{2},x_2{}=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$ .

二、复数

复数有很多东西可以扯,我们只挑几个知名度较高的来瞧瞧.

(1)原来都在同一个世界——一统数集

实数和虚数原来在一个世界!(一大波定义来袭)

这俩数集都是复数这个数集的真子集.形如的数叫做复数,其中 $a,b\in \mathbb{R}$ .复数集用 $\mathbb{C}$ 表示,虚数集用 $\mathbb{I}$ 表示,则 $\mathbb{R}\nsubseteq \mathbb{C}$ , $\mathbb{I}\nsubseteq \mathbb{C}$ ,且 $\mathbb{R}\cup \mathbb{I}=\mathbb{C}$ .

对于复数 z=a+bi ,当 a=0 时,为纯虚数,称为其虚部,记作 Im(z)=b ;当 b=0 时,为实数,称为其实部,记作 Re(z)=a ,特别的,称虚部不为的复数为虚数.

给定两个复数 $z_{1}$ , $z_{2}$ ,若实部与虚部对应相等,则说这两个复数相等.不全是实数的两个复数,不规定它们的大小,只能说相等或不相等,也不能将虚数与比较大小.

任意复数都有模(绝对值),虚数不能比较大小,但它们的模可以.复数 z=a+bi 的模为 $\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}$ ,由此可以得出为什么正数的绝对值(模)等于它本身.互为共轭复数的两个复数模相等.

对于实部相等,虚部互为相反数的两个复数,称这两个复数互为共轭复数,记作 $\bar{z}=a-bi$ .

搞了半天,数集终于对任何运算都成立了.

让我歇会儿......

(2)复数的运算

给定两个复数 $z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di$ ,则:

① $z_{1}+z_{2}=(a+b)+(c+d)i$

② $z_{1}z_{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i$ (无需死记)

③ $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{ac+bd}{c^2+b^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i(z_{2}\neq 0)$ (无需死记)

④复数满足交换律,结合律和分配律

⑤复数满足幂的运算的性质

⑥ (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

基本不需要记住,大多情况现算即可.

(3)模和共轭复数的性质(能记就记吧,我是记不住)

模的两个重要性质:

$||z_{1}|-|z_{2}||\leqslant |z_{1}\pm z_{2}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|,$

$|z_{1}+z_{2}|^2+|z_{1}-z_{2}|^2=2|z_{1}|^2+2|z_{2}|^2$

共轭复数的性质:

$z\bar{z}=|z|^2=|\bar{z}|^2$

$\bar{z_{1}\pm z_{2}}=\bar{z_{1}}\pm \bar{z_{2}},\bar{z_{1}z_{2}}=\bar{z_{1}}\bar{z_{2}},\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})}=\frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}(z_{2}\neq 0)$

(4)复数的三角表示(前方高能缓冲区)

复数除了可以表示成代数形式( a+bi )，还可以表示成三角形式,即 $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ ,为复数的模, $\angle \theta$ 称为该复数的辐角,记为 arg(z) .辐角的值有多个, $\theta +2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 都是它的辐角,在 $[0,2\pi )$ 内辐角的值称作辐角主值.其中 $\cos \theta =\frac{a}{r}$ , $\sin \theta =\frac{b}{r}$ , $\tan \theta =\frac{b}{a}$ .