目录
1. Lotka-Volterra 模型
1.1 模型假设
1.2 模式制定
2. 解决ODEs问题的一些方法
2.1 用欧拉法解决ODEs问题
2.2 使用中点来提高准确性
2.3 使用Runge-Kutta方法解决ODEs问题
2.4 使用Matlab解决ODEs
3. Lotka-Volterra模型的行为
3.1 Lotka-Volterra模型的数值解法
3.2 分析Lotka-Volterra模型
4. 对Lotka-Volterra模型的扩展
4.1 有多个物种的Lotka-Volterra模型
1. Lotka-Volterra 模型
Lynxes and hares
1.1 模型假设
捕食者：红狐狸——猎物：兔子
- 兔子的数量是可持续的（它们有充足的食物）。
- 如果没有红狐狸，兔子数量的增长速度与它的规模成正比
- 红狐狸只吃兔子
- 如果没有兔子吃，红狐狸的数量就会以与其规模成正比的速度下降。
- 环境是静止的，对种群的增长和衰亡速度没有影响
1.2 模式制定
猎物（兔子）：
捕食者（红狐狸）：
参数：
| 参数 | 含义 |
 |
兔群的增长率 |
|
狐狸捕食（吃）兔子的速度 |
|
狐狸种群的增长率 |
|
狐狸数量因死亡和迁徙而衰减的速度 |
2. 解决ODEs问题的一些方法
2.1 用欧拉法解决ODEs问题
给定一组微分方程和一个初始条件，我们如何计算系统的未来状态？在系统中，有：
其中定义了变量及其导数之间的关系，欧拉正向差分法计算逼近序列
作为基本行为的时间梯度模拟
2.2 使用中点来提高准确性
与其说我们对下一个点的估计是基于区间起点的斜率，不如说我们可以通过使用中间点的斜率来提高准确性：
这种方法会更缓慢地偏离真实情况，但缺点是每次迭代需要更多的计算量。
2.3 使用Runge-Kutta方法解决ODEs问题
欧拉方法往往不够准确。通过利用和之间的更多的点，可以提高准确度。
Runge-Kutta系列方法采用了这种方法，最常用的是RK4，它计算的是
其中值是斜率的中间估计值：
2.4 使用Matlab解决ODEs
用于Lotka-Volterra模型的Matlab函数：
Matlab测试脚本：
3. Lotka-Volterra模型的行为
3.1 Lotka-Volterra模型的数值解法
上边的图是limited cycle，是不稳定的，排斥的。
3.2 分析Lotka-Volterra模型
该系统的长期行为是什么？
平衡点：系统变量（种群水平R和F）不改变的点；
两个平衡点：
解释：
- 平衡1：两个种群都灭绝了
- 平衡2：两个种群都无限期地维持在非零水平上
系统行为如何取决于其初始条件？
稳定性分析显示：
- 第一个平衡（两个种群都灭绝）是不稳定的；只有当猎物水平被设定为零时才会出现，这时捕食者也会消亡
- 第二个平衡是稳定的；具体来说，它是中性稳定的，周围有无限多的周期性轨道。
这有多现实呢？另一个限制：
这张图有什么问题？
4. 对Lotka-Volterra模型的扩展
没有关于猎物种群承载能力的概念
logistic方程描述了种内竞争
基本的Lotka-Volterra模型捕捉了种间竞争
我们可以通过在Lotka-Volterra模型中增加一个额外的术语来综合这些观点，以解释同一物种成员之间的竞争：
右边的图是limited cycle，是稳定的，有吸引力的，有中心点，中心点是不动点。
还提出了其他的模型改进方案，以提高捕捉观察到的现象的能力
4.1 有多个物种的Lotka-Volterra模型
双物种竞争模型也可以写成：
其中是物种对物种的影响，然后可以推广到个物种的模型。
其中代表第个物种，是相互作用项的矩阵。
多物种模型的另一个代表是:
这个版本将承载能力和相互作用项拉到相互作用矩阵A内。对于三个物种，生长率，互动矩阵
对于的值，可以产生混乱的行为。
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