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为了了解博弈论中引入“混合策略”概念的动机，我们来看用“划线法”对相当简单的“猜谜博弈”求解的结果，其结果如图8.3.1所示。

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一、混合策略

    1．混合策略的定义
    设  Ⅰ与Ⅱ是一个博弈的两个局中人。他们的纯策略集(c8.2)分别记为：

        S={s₁,s₂,…s_n}和T={t₁,t₂, …t_m}        （8.3.1）

        x=(x₁,x₂, …x_n)T；xi≥0（i=1,2, …n）;∑x_i = 1
        y=(y₁,y₂, …y_m)T；yj≥0（j=1,2, …m）;∑y_j = 1

        Ⅰ 以概率x₁选择策略s₁，以概率x₂选择策略s₂，……以概率x_n选择策略s_n。
        Ⅱ 以概率y₁选择策略t₁，以概率y₂选择策略t₂，……以概率y_m选择策略t_m。

    则  称x为局中人Ⅰ的混合策略；称y为局中人Ⅱ的混合策略。

    混合策略的实践意义是表示局中人对各个纯策略的偏好程度，或是对多次博弈达到均衡结局的各个纯策略选择的概率估计，因此体现了主观概率的意义。

    2．混合策略集

    根据混合策略的定义，易见，纯策略可视为特殊的混合策略。例如局中人Ⅰ的一个纯策略策略s_i∈S 就是特殊的混合策略x' ：此概率向量的分量取值为：

        x'_i=1 ，x'_j=0        （j≠i）

也就是Ⅰ选择策略s₁的概率为0（不妨设i≠1），……选择策略s_i的概率为1，……选择策略s_n的概率为0（不妨设i≠n）。有了这个见解，后文中，我们将记：

        X={x∈R_n| x=(x₁,x₂, …x_n)T；x_i≥0（i=1,2, …n）; ∑x_i = 1}； (8.3.2)
        Y={y∈R_m| y=(y₁,y₂, …y_m)T；y_j≥0（j=1,2, …m）;∑y_j = 1}。 (8.3.3)

    注意到纯策略集S是一个有限集，由它生成的凸集，也就是单纯形（参阅第二章有关内容）可表示为：

    可见，混合策略集X与纯策略集S生成的凸集（单纯形）1－1对应（在数学上称为同构），因此可以把混合策略集X“看成”由纯策略集S拓展的凸集（单纯形），而且集S是集X的极点子集。同理可以把混合策略集Y“看成”由纯策略集T拓展的凸集（单纯形），而且集T是集Y的极点子集。按照这样的理解，就不难把握混合策略的概念，即每一个混合策略x表示了由全部纯策略s_i∈S以凸组合方式产生的一个策略。

    3．混合策略结局的盈利函数

    设  博弈的局中人Ⅰ与Ⅱ各自的纯策略集S和T，以及各自的混合策略集X、Y分别由式（8.3.1）、式（8.3.2）和式（8.3.3）定义。博弈的盈利矩阵模型为：

    则  定义混合策略结局的盈利函数如下：

    (1) 任取s_i∈S，任取y∈Y，定义结局（s_i, y）的盈利函数为：

        （8.3.4）

    (2) 任取t_j∈T，任取x∈X，定义结局（x, t_j）的盈利函数为：

        (8.3.5)

    将式(8.3.6)给出的u₁(x,y)的定义与(8.3.4)给出的u1(s_i,y)的定义作联系分析，以及将式(8.3.7)给出的u₂(x,y)的定义与(8.3.5)给出的u₂(x,t_j)的定义作联系分析，容易得出u₁(x,y)以及u₂(x,y)有下列等价的表达式：

        (8.3.9)

        (8.3.10)

二、混合策略的纳什均衡

    （一）混合策略纳什均衡的概念

    1、混合策略纳什均衡的定义
    设  博弈的局中人Ⅰ与Ⅱ各自的纯策略集S和T，以及各自的混合策略集X、Y分别由式（8.3.1）、式（8.3.2）和式（8.3.3）定义。
    若  一个混合策略的结局(x, y)∈X×Y满足下列条件：

    （1）         (8.3.11)

    （2）         (8.3.12)

    则  称混合策略的结局(x, y)是纳什均衡。

    2、混合策略纳什均衡的含义
    因为可以把混合策略集X“看成”以纯策略集S为极点子集而拓展的凸集（单纯形）。因此根据定义在凸集上的函数（称为凸函数）的性质，可以证明,若式（8.3.11）成立，则下式也必然成立：

        (8.3.13)

        (8.3.14)

    由于在博弈中局中人Ⅰ和局中人Ⅱ都选择“理性”行动，这样双方的博弈将在结局（x, y）下达到均衡状态。

    [例8.3.1]  验证x=(1/2, 1/2)^T , y=(1/2, 1/2)^T 构成的混合策略结局（x, y）是“猜谜博弈”的纳什均衡。

    解  “猜谜博弈”的模型是：

    （二）”2策略博弈“的求纳什均衡的方法

    [定理8.3.1] 
    若  博弈的局中人Ⅰ与Ⅱ各自的纯策略集S和T都是2策略集：

        S={s₁,s₂ }和T={t₁,t₂ }

    则  混合策略结局（x, y）是纳什均衡的充要条件是：

        (8.1.15)

        (8.1.16)

    证明  可设：

    再正充分性，设u1(s₁,y)=u1(s₂,y),则

    [例8.3.2] 求图8.3.2给出的博弈的纳什均衡。

    解  由式（8.3.4）

               2q-1=0
    ∴         q=1/2

　

三、混合策略纳什均衡的两则应用

    我们介绍“监察博弈”和“共同投资博弈”来认识混合策略纳什均衡的典型应用

    （一）监察博弈

    1、监察博弈的模型
    代理商为委托人干活，有两个策略可供选择：工作（W）与偷懒（S）。假设工作使代
商花费g，由此获得委托人付给他的工资w（w>g是一个合理的假设，否则代理商没有任何工作积极性）。委托人在监督方面也有两个可供寻则的纯策略：检查（I）与不检查（N）。如果委托人检查需要费用h，以此代价换得代理商是否在偷懒的信息。一旦发现代理商偷懒，则扣除工资作为惩罚，若代理商工作而不偷懒，则将为委托人增加价值v的财产（显然v>w）。如果这些信息是共同知识，两个局中人进行完全信息静态博弈。进而, 不妨假设g>h>0，即抓住主要矛盾，忽视次要情况，以简便讨论。这个博弈的盈利矩阵如图8.3.3所示。

    2．求图监察博弈的纳什均衡，并求委托人应付给代理人的工资的参考值。
    （1）求图监察博弈的纳什均衡。
    首先用划线法试求纯策略纳什均衡，结果如图8.3.3所示，可见，监察博弈在不存在纯策略纳什均衡。下面依据定理8.3.1求混合策略纳什均衡。

由u₁(W,y)=u₁(S,y),得：

        (8.3.19)

        (8.3.20)

由u₂(x,I)=u₂(x,N)得：

        (8.3.21)

    由(8.3.10)式，以及(8.3.19)式和(8.3.20)式委托人的期望盈利是：

    （二）共同投资博弈

    1、共同投资博弈模型
    有两个投资者，共同投资一个较大的项目，他们可以获得较大的回报。但若他俩中有一人抽出资金用于一个小项目，抽出者尽管比投资较大项目时收益要小，但他肯定可以获得相应回报，然而他的这一做法将使较大项目陷于困境，会使另一投资者蒙受损失。是冒一定风险坚持投资于较大的项目，以获取较大的回报，还是抽回资金投资于小项目以图有个“旱涝保收”这就是“共同投资博弈”要解决的问题。图8.3.4给出了这个博弈的模型，其中的数据是假设的，但能刻画这个博弈的各种结局是的局中人的收益。模型中U表示局中人Ⅰ坚持投资大项目，D表示局中人Ⅰ抽回资金投资小项目；模型中L表示局中人Ⅱ坚持投资大项目，R表示局中人Ⅱ抽回资金投资小项目。

    （1）“有效”最优均衡
    用划线法求纯策略解，如图8.3.4所示。博弈存在两个纯策略均衡：（U，L）与（D，R）, 毫无疑问结局（U，L）是“有效”（经济学概念）的最优结局，因为（U，L）是在不损害他人的前提下，局中人将不可能再增加自己的利益，因此在经济上也是有效结果。

    风险占优要考虑的是：局中人Ⅱ取R的可能性有多大时，局中人Ⅰ只要选择 D的盈利会大于选择U的盈利。

    我们可设局中人Ⅱ取R概率为y，这时局中人Ⅰ取U时的期望盈利为：

u₁(U,y)=9(1-y)+0*y=9-9y

u₁(D,y)=8(1-y)+7y=8-y

这表明，如果局中人Ⅰ预测到局中人Ⅱ取策略R的概率大于1/8的话，从期望盈利考虑，局中人Ⅰ应采取D。注意到盈利矩阵关于两个局中人是对称的，同样的讨论告知，如果局中人Ⅱ预测到局中人Ⅰ取策略D的概率大于1/8的话，从期望盈利考虑，局中人Ⅰ应采取R。1/8是个小概率，因此一般来说，从风险占优角度，（D，R）优于（U，L）。