控制理论中的几种稳定性介绍
- 李雅普诺夫意义下的稳定
- 渐近稳定
- 指数稳定
- UUB（Uniformly ultimately bounded）稳定
- 输入-状态稳定
- 输入-输出稳定
1、 李雅普诺诺夫意义下的稳定：
对于 ∀ ϵ > 0 \forall~\epsilon>0 ∀ ϵ>0, ∃ δ ( t 0 , ϵ ) > 0 \exist ~\delta(t_0,\epsilon)>0 ∃ δ(t0,ϵ)>0, 使得当 ∥ x ( t 0 ) ∥ < δ ( t 0 , ϵ ) \|x(t_0)\|<\delta(t_0,\epsilon) ∥x(t0)∥<δ(t0,ϵ) 时, 有： ∥ x ( t , t 0 , x 0 ) ∥ < ϵ \|x(t,t_0,x_0)\|<\epsilon ∥x(t,t0,x0)∥<ϵ成立。则称系统关于平衡状态 x = 0 x=0 x=0 是李雅普诺夫意义下稳定的。
举例： x ˙ = − e − t e − t + 1 x \dot x=-\frac{e^{-t}}{e^{-t}+1}x x˙=−e−t+1e−tx
2、 渐近稳定：
如果系统平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe=0 是李雅普诺夫意义下稳定的，且从任意有界邻域 S ( δ ) S(\delta) S(δ) 出发的任意状态轨迹，当 t t t 趋于无穷大时，该状态轨迹都离不开 S ( δ ) S(\delta) S(δ), 且收敛到 0 0 0, 则称平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe=0 是渐近稳定的。
举例： x ˙ = − 1 t + 1 x \dot x=-\frac{1}{t+1}x x˙=−t+11x
3、指数稳定：
如果系统平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe=0 是渐近稳定的，且状态轨迹收敛到平衡点的速度大于等于某个关于 t t t 的指数函数，则称平衡状态 x e = 0 x_e=0 xe=0 是指数稳定的。
举例： x ˙ = − x \dot x=-x x˙=−x
5、输入-状态稳定：
存在一个 K L \mathcal{KL} KL 类函数 β \beta β 和一个 K \mathcal{K} K 类函数 γ \gamma γ, 使对于 ∀ t 0 \forall t_0 ∀t0、 ∀ x ( t 0 ) \forall x(t_0) ∀x(t0) 和任意有界输入 u ( t ) u(t) u(t), 解对于 ∀ t > t 0 \forall t>t_0 ∀t>t0 都存在且满足：
∥ x ( t ) ∥ ≤ β ( ∥ x ( t 0 ) ∥ , t − t 0 ) + γ ( sup t 0 ≤ τ ≤ t ∥ u ( τ ) ∥ ) \|x(t)\|\leq \beta\left(\|x(t_0)\|,t-t_0\right)+\gamma\left(\sup_{t_0\leq\tau\leq t}\|u(\tau)\|\right) ∥x(t)∥≤β(∥x(t0)∥,t−t0)+γ(supt0≤τ≤t∥u(τ)∥), 那么系统的输入-状态稳定的。
6、输入-输出稳定：
对于有界的输入信号，若系统所产生的输出信号也是有界的，则称系统是输入输出稳定的。
💡💡💡 注意💡💡💡
1、渐近稳定的系统一定是李雅普诺夫意义下稳定的；李雅普诺夫意义下稳定的系统不一定是渐近稳定的。
2、指数稳定是渐进稳定的一种，其收敛速度可以描述；渐近稳定的收敛速度可能很慢。
3、在线性定常系统下，系统内稳一定外稳，但是外稳不一定内稳。
4、对于输入-状态稳定(ISS)，无输入情况下，针对完全能控能观的线性系统，李雅普诺夫意义下稳定、输入-输出稳定、输入-状态稳定三者等价。而对于更一般的非线性系统，ISS是一个比一致渐进稳定性更严格的性质。
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