降幂扩角公式(降幂扩角公式变形)[通俗易懂]

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对于准备2020考研的同学来说，要把重点放在公式的内容上，因为大部分的题都会涉及到。为此，边肖整理了《2020考研数学:公式总结的两个角和差篇》的相关内容，希望对大家有所帮助。

两个角的和差公式:

1.两角和差的三角函数公式:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

2.双角度公式:

双角的正弦、余弦、正切公式(增、减角公式)

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

3.半角公式:

半角的正弦、余弦和正切公式(幂次递减和展开角公式)

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

还有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα= sinα/(1+cosα)。

4.通用公式:

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

通用公式推导:

附:sin 2α= 2 sinαcosα= 2 sinαcosα/(cos 2(α)+sin 2(α))……*

(因为cos 2 (α)+sin 2 (α) = 1)

然后用*分数自上而下除以COS 2 (α)，就可以得到SIN 2 α = 2 tan α/(1+tan 2 (α))。

那么就用α/2代替α。

余弦的通用公式也可以用同样的方法推导出来。通过正弦和余弦的比较，可以得到正切的普遍公式。

5.三倍角公式:

三倍角的正弦、余弦和正切公式:

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

三倍角公式的推导；

附加推导:

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin 2αcosα+cos 2αsinα)/(cos 2αcosα-sin 2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

上下除以COS 3 (α)得到:

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin 3α= sin(2α+α)= sin 2αcosα+cos 2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

=3sinα-4sin^3(α)

cos 3α= cos(2α+α)= cos 2αcosα-sin 2αsinα

=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

=4cos^3(α)-3cosα

也就是

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

三角公式的联想记忆:

记忆方法:谐音和联想。

正弦的三倍角:3元减4元乘3角(负债(减为负数)，所以你要“挣钱”(听起来像正弦))

余弦三倍角:4元减3元的3个角(减法后有“剩余”)。

Ps:注意函数名，即正弦的三倍角用正弦表示，余弦的三倍角用余弦表示。

其他记忆方法:

正弦三角:山无统帅(谐音为三无四立)。三指“三倍”sinα，二指负号，四指“四倍”，立正指sinα立方。

余弦三角:司令，没有山也一样。

6.和差乘积公式

三角函数的和差积公式

sinα+sinβ= 2 sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ= 2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ= 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2 sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

三角函数的积和差公式；

sinαcosβ= 0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ= 0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosαcosβ= 0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαsinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差积公式的推导:

附加推导:

一开始我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

将两个公式相加得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb。

所以sin a * cosb =(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，两个公式相减，得到cosa * sinb =(sin(a+b)-sin(a-b))/2。

同理我们也知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos (a-b) = cos a * cos b+sin a * sin b。

因此，将两个公式相加，可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb。

所以我们得到，cos a* cosb =(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，两个公式相减可以得到sin a* sinb =-(cos(a+b)-cos(a-b))/2。

这样，我们得到积和差的四个公式:

Sina * cosb =(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa * sinb =(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa * cosb =(cos(a+b)+cos(a-b))/2

Sina * sinb =-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

有了积和差的四个公式，只需要一个变形就可以得到积和差的四个公式。

我们在上面四个公式中设a+b为X，a-b为Y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2。

用X和Y分别表示A和B，可以得到和差积的四个公式:

sinx+siny = 2 sin((x+y)/2)* cos((x-y)/2)

sinx-siny = 2cos((x+y)/2)* sin((x-y)/2)

cosx+cosy = 2cos((x+y)/2)* cos((x-y)/2)

cosx-cosy =-2 sin((x+y)/2)* sin((x-y)/2)

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