指数函数求导公式(高等数学18个求导公式)

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微积分中导数公式和级数展开的推导及应用(彭)

本文简介:

下面的推导是基于导数定义、导数规律、积分概念和规律、级数展开的收敛性等知识。得到了微积分中基本函数的所有导数公式和多项式展开式，并利用它们得到了无理数或超越数如带根号的数、对数值、e、π等精确值的一些表达式。

内容:

一、最简幂的导数公式的推导:

当指数为正整数时，根据定义直接推导出来。

当指数为负整数时，应根据商的导数公式推导。

如果正分数是指数幂，就必须用复合函数的求导法则推导出来。

如果负分数是指数幂，就必须用商的导数公式推导出来。

当指数是含有无理数的实数时，要用对数函数的求导公式(见下面的求导)和复合函数的求导法则来推导。

以上是幂函数求导公式的完整推导。

2.指数函数、对数函数和三角函数导数公式的推导。按照推导顺序一步一步介绍如下。

从上面的推导可以知道E的重要性，没有E的定义，就找不到非多项式的第一自然对数的导数，导数公式的推导就无法进行。

有了E的定义，虽然暂时不知道E的确切值，但是可以推导出以E为底的自然对数和指数函数的导数，见上图。

因此，结合指数函数和对数函数的运算性质以及复合函数的求导法则，可以得到任意指数函数和对数函数的求导公式。见下文:

为了进一步推导，我们需要通过三角函数的定义和相关知识推导出一个重要的极限值:当自变量趋于0时，正弦函数与其自变量之比的极限为1。

有了以上重要的极限，我们就可以利用复数运算、导数、积分的基本定义和算法，推导出E的ix次方与cosx、sinx的关系，从而得到几个重要常数0，1，即π的著名关系。E和1的iπ次方之和为0。

具体流程如下:

根据上述关系:

e^(ix)=cosx+isinx，

我们可以用指数和运算来表示三角函数，然后利用前面介绍的指数函数的求导法则可以推导出三角函数的求导公式。

查看以下详细信息:

可见三角函数的求导公式简单明了。

3.下面是反正弦、反余弦、反正切的导数公式的推导。

第四，我们想，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数，可以用多项式形式表示吗？如果有，有哪些区别？

我们先考虑以e为底的指数函数分解成多项式是什么样的，可以得出什么结论。

可以看出，当展开成多项式形式时，E的x次幂包含了许多项的和。

这样，设x = 1，我们得到e的精确值表达式。

利用这个表达式，我们可以求出E到小数点后任意位数的近似值。

比如求e的近似值的误差估计。

一百个！,200!该值通过使用手机中的科学计算器来计算。

从这个公式可以看出，E不能表示为分数(如果去掉后面带省略号的部分，就可以变成分数，也就是有理数，只是E的近似值)，所以我们知道它一定是无理数。

利用e x的多项式展开式，结合e x = cosx+isinx，可以很容易地立即推导出三角函数的多项式展开式。

见下文:

对数函数的多项式展开是什么？

幂函数的多项式展开及其在求根号数值中的应用。

以下是反正弦、反余弦和反正切的级数展开以及用于求圆周率值的精确表达式。