正切函数的导数(高二导数公式表)[通俗易懂]

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微积分中几个重要公式的简单推导(彭)

在数学分析或微积分中，有重要的常数e，π，重要的导数和多项式展开。这些公式是怎么推导出来的？本文从极限、导数、积分的定义和算法出发，对它们进行了从头到尾的推导。

可以看出，推导过程比各种微积分教材中的推导过程要简单和深刻得多，即不需要深厚的理论基础就可以得到微积分中的重要公式。

写在这里供大家欣赏。

从上面知道了E的重要性，没有E的定义，就找不到不是多项式的一次函数的导数，那么下面的导数公式的推导就无法进行下去。

有了E的定义，虽然暂时不知道E的确切值，但是可以推导出以E为底的自然对数和指数函数的导数，见上图。

因此，结合指数对数运算的性质和复合函数的求导法则，可以得到任意指数函数和对数函数的求导公式。见下文:

为了进一步推导，我们先从三角函数的定义及相关知识中推导出一个重要的极限值:当自变量趋于0时，正弦函数与其自变量之比的极限为1。

有了以上重要的极限，我们就可以利用复数运算、导数、积分的定义和算法，推导出E的ix次方与cosx、sinx之间的关系，从而得到几个重要常数0，1即E，π之间的著名关系。E和1的iπ次方之和为0。

具体流程如下:

根据上述关系:

e^(ix)=cosx+isinx，

我们可以用指数来表示三角函数，然后利用前面介绍的指数函数的求导规则，可以推导出三角形和函数的求导公式。

查看以下详细信息:

可见三角函数的求导公式简单明了。

我们知道，多项式函数是包含了最基本最简单运算的函数，我们认识和掌握这样的函数是相当容易的。

我们想，指数函数，对数函数，三角函数，能不能用多项式形式表示？如果是的话，有什么区别吗？

我们先考虑以e为底的指数函数分解成多项式是什么样的，可以得出什么结论。

见下文:

可以看出，当展开成多项式形式时，E的x次幂包含了许多项的和。

因此，设x = 1，我们得到e的精确值的表达式。

利用这个表达式，我们可以求出e对任意位的近似值。

从这个公式我们可以看出，E不能表示为分数(如果去掉后面带省略号的部分，就可以变成有理数，只是E的近似值)，所以我们知道它一定是一个无理数。

利用e x的多项式展开式，结合e x = cosx+isinx，可以很容易地立即推导出三角函数的多项式展开式。

见下文:

上面的许多公式和结论都是推导出来的。最后，我们找到了圆周率的精确值方程。

首先，我们求出反正切函数的导数，并将导数结果展开成多项式形式。然后，我们将它积分得到反正切函数的多项式展开式。最后，让x取一个特殊值，得到一个包含π的方程，然后我们通过变形就可以得到π。

见下文:

回头看上面的推导，可以发现对数函数的多项式展开式还没有推导出来，需要单独推导。有了导数公式和待定系数法，这个推导就不难了。

查看以下详细信息:

至于反正弦，反余弦的多项式展开就不赘述了。

目前为止。