2025年2021-09-30不定积分的一些方法总结

科技前沿 • 2025-03-15 23:35 • 阅读 83

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不定积分的一些方法总结

积化和差，在一些三角函数的乘积进行积分是，化成和差的形式，方便用基础公式计算。

分子分母都有根号的，去掉分子根号，分母凑三角反函数的导。

一次换元还是不方便可以再换元。敢写！

黄金代换式：sinx= 2u/(1+u^2),cosx =(1-u^2)/1+u^2,u=tan(x/2)

化真分式

重点！！！构造

有点代数的风格的，下面这样的，凑两个等式出来，然后去掉积分符号，求两个解。

下面这道题先是化简（化简到一个求dx比较容易的形式），再换元，再回代。

下面这道题，不要一上来就把根号换元，应首先考虑分母有理化。

下面这道题，如果采用换元的方法，也可以算出正确答案，但是下面的方法更具有代表性。值得学习。形如 $\int \frac{f(lnx)}{x}dx$ ,尽量凑 $\frac{dx}{x}=d(lnx)$

下面的题型，同时在分子分母同时乘e^(-x),相当于是在被积分符号（dx）上凑分式的分母。

下面这种题，可以两次换元做出答案（第一次t=(1+x^2)^0.5）,第二次用三角函数换元）。

但是用倒代换的方法更快，而且只需要一次换元。

当被积函数分母次数高于分子次数时,使用倒代换来增加分子次数,然后再对分子进行降次。

遇到 $\int tanx^2 or \int cotx^2$ ,不要着急想对应的公式，因为”没有“ 先转换，tanx^2=secx^2-1。cotx^2=cscx^2-1。加油

拆根号，然后换元，尤其是明显的根号里面有两项。

如下所示的题型，当分子的阶数和分母导数的阶数相同时，我们就可强行去凑，并不麻烦，就是加了个常数，这个方法很实用。

方法三是最方便的，但是这种凑的方式是比较难想。

我发现三角函数要么就是降幂，要么就是半角，总之是要用一下三角函数之间的某个代换公式。

***的会啊，直接积分咱好像没发积，但是我们可以用参数方程，用t=f(x,y），把x,y换掉。就OK啦。

个人感觉这道题纯粹是闲的