讯享网 

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。

杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b) ²的展开式来探讨。

由上式得出： (a+b)²＝a²+2ab+b²  此代数式的系数为： 1  2  1 

则(a+b) ³的展开式是什么呢？答案为：a³+3a²b+3ab²+b³  

由此可发现，此代数的系数为： 1  3  3  1  

但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b) 4的展开式。      

展开式为：a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴     

由此又可发现，代数式的系数为： 1 4  6  4  1 

似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：

                               1               

1   1               

1   2   1             

1   3   3   1          

1   4   6   4   1        

1   5  10  10   5  1       

1   6  15  20  15  6   1     

首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 

                         1               (  1  ) 

1   1             ( 1+1=2  ) 

1   2   1           (1+2+1=4  ) 

1   3   3   1         (1+3+3+1=8  ) 

1   4   6   4   1       (1+4+6+4+1=16  ) 

1   5  10  10   5  1      (1+5+10+10+5+1=32  ) 

1   6  15  20  15  6   1    (1+6+15+20+15+6+1=64  ) 

„„ 

相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，

刚好是2的0，1，2，3，4，5次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂

接下来，请同学们直接写出(a+b)⁸

8次方我们还可以画杨辉三角把他的系数写出来，但是100次方呢？n次方呢？我们就没法写，所以我们要简单讲下二项式定理:

举个具体的例子

杨辉三角在中考题目中经常出现，现举几个例子

1.(2018年德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式(a+b)ⁿ的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算(a+b)⁸的展开式中从左起第四项的系数为(　　)

A．84 B．56 C．35 D．28

【分析】如果熟悉二项式定理，这种题目可以秒杀，不需要去画杨辉三角。第四项的系数就是

2.(2019春•江都区期中)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了(a+b)ⁿ(n＝1，2，3，4，…)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序)：

1 1 (a+b)¹＝a+b

1    2    1 (a+b)²＝a²+2ab+b²

1    3   3      1 (a+b)³＝a³+3a²b+3ab²+b³

1    4   6     4      1 (a+b)⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

请根据上述规律，写出的展开式中含x²⁰¹⁶项的系数是(　　)

A．2018                            B．4036                             

C．﹣2016                       D．﹣4032

【分析】首先确定x²⁰¹⁶是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题

【解答】解：(x+)²⁰¹⁸展开式中含x²⁰¹⁶项的系数，

由(x+)²⁰¹⁸＝x²⁰¹⁸+2018•x²⁰¹⁸•()+…

可知，展开式中第二项为2018•x²⁰¹⁷•()＝4036x²⁰¹⁶，

∴(x+)²⁰¹⁸展开式中含x²⁰¹⁶项的系数是4036，

故选：B．

3.如果(2x﹣1)⁶＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵+a₆x⁶，那么(1)a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆＝　　；(2)a₀+a₂+a₄+a₆＝　　．(可用杨辉三角解决)

【分析】已知等式是关于x的恒等式，即x取任意数时，等式成立．

(1)所求式子为恒等式右边系数的和，令x＝1即可；

(2)所求式子为恒等式右边系数的和，令x＝﹣1即可，与(1)式相加，奇数项系数抵消，可得出偶数项系数的和．

【解答】解：(1)令x＝1，得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆＝(2×1﹣1)⁶＝1；

(2)令x＝﹣l，得a₀﹣a₁+a₂﹣a₃+a₄﹣a₅+a₆＝[2×(﹣1)﹣1]⁶＝729；

与(1)式相加，得2a₀+2a₂+2a₄+2a₆＝730，

解得a₀+a₂+a₄+a₆＝365．

故答案为：1，365．

3.(2011•凉山州)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)ⁿ(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)²＝a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)³＝a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数等等．

(1)根据上面的规律，写出(a+b)⁵的展开式．

(2)利用上面的规律计算：2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1．

【分析】(1)由(a+b)＝a+b，(a+b)²＝a²+2ab+b²，(a+b)³＝a³+3a²b+3ab²+b³可得(a+b)ⁿ的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a+b)^n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得(a+b)⁴的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此(a+b)⁵的各项系数依次为1、5、10、10、5、1．

(2)将2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果．

【解答】解：(1)(a+b)⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；

(2)原式＝2⁵+5×2⁴×(﹣1)+10×2³×(﹣1)²+10×2²×(﹣1)³+5×2×(﹣1)⁴+(﹣1)⁵

＝(2﹣1)⁵

＝1

   杨辉三角的应用还有很多很多，等同学们读到高中大学，自己去挖掘下这块我国古代数学瑰宝吧。