纠缠源测定数据原理
关于纠缠源，纠缠源的质量是通过几个指标来表达的。指标又如下：同时计数（coincidence rate）以及它的图像（fringes）和表达它的纯度的“可见度”（Visibility），保真度（Fidelity），纠缠度（Tangle），和量子态层析（Quantum State Tomography）
同时计数的图像，以及“可见度”
所谓的同时计数（Coincidence rate），其实是指在输入端，也就是我们接受光子的端口，两个端口同时接受到光子的个数。我们固定其中的一个端口的偏振片角度，然后调整另一个端口的角度，从而得到的同时数-角度的关系图。这个图呈现三角函数形式，因此被叫做fringes。也通过这个图的最大值和最小值，得到了所谓的“可见度”（Visibility）。利用一些极端情况我们可以得到一些结果：对于完全理想的输出，该同时性计数正比于 cos 2 \cos^2 cos2关系；对于完全的自然光，同时性计数是一个常数；对于混态的HH和VV态，结果中具有常数项。下面，我们将推出更详细的结果（设两端分别为A端和B端，其中B端是某个角度固定的偏振）：
投影矩阵为：
E ( θ ) = ( cos 2 θ cos θ sin θ cos θ sin θ sin 2 θ ) E(\theta)=\begin{pmatrix}\cos^2\theta&\cos\theta\sin\theta\\\cos\theta\sin\theta&\sin^2\theta\end{pmatrix} E(θ)=(cos2θcosθsinθcosθsinθsin2θ)
我们首先考虑纯态，对于密度矩阵分解为 ρ = ρ a ⊗ ρ b \rho=\rho_a\otimes\rho_b ρ=ρa⊗ρb. 设A部分矩阵的变量为$\phi$，代表H和V态的比例。 θ \theta θ代表我们的自变量，即A端的偏振片角度。因此，我们得到：
Coincidence rate = Tr [ M a ⊗ M b ρ ] = Tr [ ( M a ρ a ) ⊗ ( M b ρ b ) ] = k Tr [ M a ρ a ] = k [ 1 2 + 1 2 cos 2 ϕ cos 2 θ + 1 2 sin 2 ϕ cos 2 θ ] = k cos 2 ( θ − ϕ ) \begin{aligned} \text{Coincidence rate}&=\verb!Tr![ M_a\otimes M_b \rho]=\verb!Tr![ (M_a\rho_a)\otimes (M_b\rho_b)]\\ &=k \verb!Tr![M_a\rho_a]\\ &=k[\frac12+\frac12\cos2\phi \cos2\theta+\frac12\sin2\phi\cos2\theta]\\ &=k\cos^2(\theta-\phi) \end{aligned} Coincidence rate=Tr[Ma⊗Mbρ]=Tr[(Maρa)⊗(Mbρb)]=kTr[Maρa]=k[21+21cos2ϕcos2θ+21sin2ϕcos2θ]=kcos2(θ−ϕ)
同时计算可以得到，如果两个态具有相位差，同样会引入常数项。下面我们计算如果是混态的结果。因此分解密度矩阵为: ρ = p ρ a 1 ⊗ ρ b 1 + ( 1 − p ) ρ a 2 ⊗ ρ b 2 \rho=p\rho_{a1}\otimes\rho_{b1}+(1-p)\rho_{a2}\otimes\rho_{b2} ρ=pρa1⊗ρb1+(1−p)ρa2⊗ρb2. p为这两部分所占的比例，因此我们得到的同时计数为（令k=1）：
我们做如下的定义：
A = 1 + 2 p 2 − 2 p 2 / 2 ≤ A ≤ 1 A=\sqrt{1+2p^2-2p}\\ \sqrt 2/2\le A\le 1 A=1+2p2−2p2/2≤A≤1
显然A小于1. 这对于后面的计数十分重要。
Coincidence rate = p cos 2 ( θ − ϕ 1 ) + ( 1 − p ) cos 2 ( θ − ϕ 2 ) = 1 2 + A 2 [ p A cos 2 ( θ − ϕ 1 ) + 1 − p A cos 2 ( θ − ϕ 2 ) ] = 1 2 + A 2 cos 2 ( θ + δ ) = A cos 2 ( θ + δ ) + 1 − A 2 \begin{aligned} \text{Coincidence rate}&=p\cos^2(\theta-\phi_1)+(1-p)\cos^2(\theta-\phi_2)\\ &=\frac12+\frac A2[\frac pA\cos2(\theta-\phi_1)+\frac{1-p}{A}\cos 2(\theta-\phi_2)]\\ &=\frac12+\frac A2\cos 2(\theta+\delta)\\ &=A\cos^2(\theta+\delta)+\frac{1-A}{2} \end{aligned} Coincidence rate=pcos2(θ−ϕ1)+(1−p)cos2(θ−ϕ2)=21+2A[Apcos2(θ−ϕ1)+A1−pcos2(θ−ϕ2)]=21+2Acos2(θ+δ)=Acos2(θ+δ)+21−A
显然最后一项代表着由于是混态导致的常数项，它是由混态的比例所决定的。因此我们计算：
Visibility = V m a x − V m i n V m a x + V m i n = A \text{Visibility}=\frac{V_{max}-V_{min}}{V_{max}+V_{min}}=A Visibility=Vmax+VminVmax−Vmin=A
保真度和纠缠度
保真度和纠缠度也是实验结果的一个重要的部分。它们的定义比较简单。首先，保真度（Fidelity）指的是我们在多大程度上得到了我们想要的态。在纠缠态实验中，我们的需要的态是：
∣ Ψ − ⟩ = ∣ H V ⟩ − ∣ V H ⟩ |\Psi_-\rangle=|HV\rangle-|VH\rangle ∣Ψ−⟩=∣HV⟩−∣VH⟩
因此，保真度的定义是：
Fidelity = ⟨ Ψ − ∣ ρ ∣ Ψ − ⟩ \text{Fidelity} = \langle\Psi_-|\rho|\Psi_-\rangle Fidelity=⟨Ψ−∣ρ∣Ψ−⟩
对于纠缠度（Tangle）的定义，这里使用的是Concurrance的概念。它是做了如下的定义而计算出来的：
ρ ~ = ( σ y ⊗ σ y ) ρ ∗ ( σ y ⊗ σ y ) 其中， σ y = ( 0 − i i 0 ) \tilde{\rho}=(\sigma_y\otimes\sigma_y )\rho^*(\sigma_y\otimes\sigma_y )\\ \text{其中，}\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} ρ~=(σy⊗σy)ρ∗(σy⊗σy)其中，σy=(0i−i0)
根据此，我们计算出 ρ ρ ~ \rho\tilde{\rho} ρρ~的本征值为： λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 λ1,λ2,λ3,λ4。 然后Concurrance的定义为：
C = max { λ 1 − λ 2 − λ 3 − λ 4 , 0 } C=\max\{ \lambda_1-\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4, 0\} C=max{
λ1−λ2−λ3−λ4,0}
可以证明：C=0 对应的是完全不纠缠态，而C=1对应的是最大纠缠态。
量子态层析
量子层析可以分为：量子态层析 和 量子过程层析。这里介绍一下量子态层析。所谓的量子态层析，就是指的是如何通过测量的方式得到态密度 ρ \rho ρ。
态密度是我们常用的，描述量子态的纯度等量子态的好坏量。它的定义如下：
ρ = ∑ 0 n P n ∣ φ n ⟩ ⟨ φ n ∣ \rho = \sum_0^n P_n |\varphi_n\rangle\langle \varphi_n| ρ=0∑nPn∣φn⟩⟨φn∣
其中， P n P_n Pn是产生这个态 ∣ φ n ⟩ |\varphi_n\rangle ∣φn⟩的概率，或是它占所有态的比重。
1-qubit的量子态层析
1-qubit的定义的只有一个可以变化的位置，且这个位置只能去0或者1. 因此可以写成：
∣ φ ⟩ = cos θ 2 ∣ 0 ⟩ + sin θ 2 e i ϕ ∣ 1 ⟩ |\varphi\rangle=\cos\frac\theta2|0\rangle+\sin\frac\theta2e^{i\phi}|1\rangle ∣φ⟩=cos2θ∣0⟩+sin2θeiϕ∣1⟩
其中有两个变量 θ \theta θ和 ϕ \phi ϕ。因此1-qubit的密度矩阵是个2维矩阵。
ρ = ( a 00 a 01 a 10 a 11 ) \rho=\begin{pmatrix}a_{00}& a_{01}\\a_{10}&a_{11}\\ \end{pmatrix} ρ=(a00a10a01a11)
考虑到密度矩阵满足的性质：
Tr ρ = 1 ρ = ρ † \text{Tr } \rho=1\\ \rho =\rho^\dag Tr ρ=1ρ=ρ†
因此得到， a 00 a_{00} a00和 a 11 a_{11} a11是实数。 a 10 a_{10} a10= a 01 † a_{01}^\dag a01†。因此，决定这个密度矩阵的分别是4个实数： a 00 , a 11 , Re a 10 , Im a 10 a_{00},a_{11},\text{Re }a_{10},\text{Im }a_{10} a00,a11,Re a10,Im a10
因此，我们可以把他们拆解为如下的形式：
ρ = a 00 ( 1 0 0 0 ) + a 11 ( 0 0 0 1 ) + Re a 10 ( 0 1 1 0 ) + Im a 10 ( 0 − i i 0 ) \rho=a_{00}\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}+a_{11}\begin{pmatrix}0&0\\0&1 \end{pmatrix}+\text{Re }a_{10}\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}+\text{Im }a_{10}\begin{pmatrix} 0&-i\\i&0\end{pmatrix} ρ=a00(1000)+a11(0001
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