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^{▲ 以电感为中心的RLC串联电路}

 

▌01 基本理论

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电感器是电路中常见的重要元器件，常用在信号滤波、电能转换、信号耦合以及磁场检测等。它利用电磁感应原理对流过的电流的变化产生感应电动势，两端的电压与电流的变化率成正比，其中的比率就是电感的重要参数：电感量，通常记作L。

▌简单电感的串并联

与电阻、电容以上，电感也可以通过串联、并联形成新的电感。计算串联、并联电感的值与电阻的串并联的计算公式基本一致。多个电感串联的电感量等于各个电感的电感值相加；多个电感并联的电感量等于各并联电感的电感的的倒数之和再取倒数。

^{▲ 电感串联}

$$L_{eq}=L_1+L_2+L_3+\cdots +L_n$$

^{▲ 电感并联}

$$\frac{1}{L_{eq}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}+\frac{1}{L_3}+\cdots +\frac{1}{L_n}$$

与电阻不同的是，电感之间有可能会出现相互的电磁耦合的关系，特别是对于空心电感，磁场会存在电感周围很大的空间内。如果两个电感之间的距离很近，方向又一致，就很容易电磁耦合，度量两个线圈之间电磁耦合程度通常使用互感（Mutual Inductance）来度量，它表征了一个线圈中的电流变化在另外一个线圈中所产生感应电动势的大小。

对于有互感的M两个线圈L1,L2，可以列些出它们之间的等效电路：

^{▲ 两个有互感的线圈等效电路}

根据产生感应电动势的极性，可以定义出两个互感线圈之间的“同铭端”，根据极性与参考电压方向是否相同，可以分为同相互感和反相互感。

对于之间有互感的电感的串联、并联之后电感的计算就变得复杂了。在网络文章 Mutually coupled inductors. Coupling coefficient. Power and energyof mutually coupled inductors. Analysis of circuits with mutuallycoupled inductor. 中，给出了互感线圈的的串、并联计算基本方法。

▌有互感电感的串联

两个线圈$L_1,L_2$之间存在着互感$M$，当它们同相串联的时候，对应的电感量为：

$$L_E=L_1+L_2+2M$$

^{▲ 两个电感同相串联}

可以可跟KVL定理，列些出串联支路电压方程，可以证明该公式：

如果是反相串联的时候，按照相同的方式，可以证明对应的等效电感量为：$$L_E=L_1+L_2-2M$$

^{▲ 两个电感线圈异向串联}

根据这个公式，可以来测量两个线圈之间的互感量M。也就是通过分别测量L1,L2，然后在分别测量他们同相和反相串联后的电感，便可以计算出它们之间的互感M。

▌有互感电感并联

当两个有互感M的线圈L1,L2并联时，对应的等效电感分别为：

(1) 同相并联

$$L_E=\frac{L_1\cdot L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}$$

^{▲ 带有互感的线圈并联 左：同相并联；右：反向并联}

(2) 反相并联

$$L_E=\frac{L_1\cdot L_2-M^2}{L_1+L_2+2M}$$

公式的证明过程稍微复杂，可以参见前面 论文中的求解过程。

从上面公式可以看到，当互感量M等于0时，它们就退化成最初的简单电感的串并联计算公式了。

▌互感线圈等效变换

存在互感电路往往会使得电路分析变得复杂。将两个互感的线圈使用T型电路进行等效变换可以简化电路分析。下面给出了通过互感耦合在一起的电路等效变换。

^{▲ 同相互感等效变换}

等效转换后的电路消除了互感，之后的电路分析可以使用基尔霍夫电压、电流定理（KCL&KVL）进行分析。

 

▌02 实验验证

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使用在 无线节能线圈参数初步测试 中的大线圈与小线圈进行测试。

1.两个小线圈

两个小线圈分别使用SmartTweezer分别测量得到的电感：

• L1 = 9.522μH； L2= 9.563

^{▲ 两个小线圈与LCR SmartTweezers}

（1）分开测量

• 串联电感：Ls=19.22μH
• 并联电感：Lp=4.88μH

^{▲ 分开进行测量}

分析上面两个线圈的分开进行测量，所得到的结果与前面给出的没有偶和状态下的电感串并联的计算公式基本一致。

（2）紧耦合测量

^{▲ 紧耦合的情况测量}

■ 并联

• 反相并联：Lp = 1.214μH；
• 同相并联：Lp=8.452μH

■ 串联

• 同相串联：Ls=35.07μH
• 反向串联：LS= 4.375μH

利用两个线圈串联之后的结果，来计算当两个线圈紧耦合（基本上是重叠在一起）的情况下，它们之间的互感量M。

根据同相串联Ls=35.07uH，可以计算出它们之间的互感为：
$$M=\frac{L_s-L_1-L_2}{2}=\frac{35.07-\left(9.522+9.563\right)}{2}=7.993\mu H$$

根据它们之间反向串联测量电感：Ls=4.375，可以计算出它们之间的互感为：$$M=\frac{L_1+L_2-L_s}{2}=\frac{9.522+9.563-4.375}{2}=7.355\mu H$$

或者根据同相和反向串联的结果可以计算互感量的平均值：
$$M=\frac{L_{s1}-L_{s2}}{4}=\frac{35.07-4.375}{4}=7.673\mu H$$

由此可以得到当两个线圈紧耦合时，耦合系数为：
$$k=\frac{M}{\sqrt{L_1\cdot L_2}}=\frac{7.673}{\sqrt{9.522\times 9.563}}=0.804$$

2.两个大线圈

两个大线圈使用SmartTweezer测量，分别的电感为：

• L1= 13.18uH；L2= 13.27uH

^{▲ 两个大线圈}

（1）分开测量

• 串联：Ls = 26.26uH
• 并联：Lp = 7.291uH

（2）重叠测量（紧耦合）

^{▲ 测量过程}

• 反向串联： L1=5.008uH
• 同相串联：L2= 48.82uH
• 同相并联：L3= 12.01uH
• 反向并联：L4=2.489uH

根据紧耦合是反向串联和同相串联的电感，可以计算出两个线圈之间的互感量：

$$M=\frac{L_2-L_1}{4}=\frac{48.82-5.008}{4}=10.953$$

对应的耦合系数：
$$k=\frac{M}{\sqrt{L_1\cdot L_2}}=\frac{10.953}{\sqrt{13.18\times 13.27}}=0.828$$

3.一大一小线圈

两个线圈的电感量分别为：

• L1 = 9.484uH; L2 = 13.22uH

^{▲ 一大一小两个线圈}

（1）分开测量

• 并联电感：Lp = 6.612uH
• 串联电感：Ls = 22.70uH

（2）重叠测量（紧耦合）

• 反向串联：Ls1=19.56uH
• 同相串联：Ls2=26.19uH
• 反向并联：Lp1=7.367uH
• 同相并联：Lp2=5.812uH

根据反向和同向串联电感值的变化，可以计算出两个线圈之间的互感量：

$$M=\frac{L_{s2}-L_{s1}}{4}=\frac{26.19-19.56}{4}=1.635\mu H$$

那么两个线圈之间的互感系数为：
$$k=\frac{M}{\sqrt{L_1\cdot L_2}}=\frac{1.635}{\sqrt{9.484\times 13.22}}=0.146$$

^{▲ 两个线圈耦合系数大约为：0.146}

4.电磁炉线圈与小线圈

对于 电磁炉线圈初步谐振实验 - 无线信标线圈 中的电磁炉线圈，它本身带有铁氧体材料。使用SmartTweezer测量的基本参数为：

• L0=93.4uH, Rs=2.12Ω

^{▲ 小线圈与电磁炉线圈}

测量它与小线圈之间的耦合系数。直接测量对应的同相和反向串联电感：

• 反向串联：L1=64.20uH
• 同相串联：L2= 150.2uH

互感量M：
$$M=\frac{L_2-L_1}{4}=\frac{150.2-64.2}{4}=21.5\mu H$$

互感系数k:
$$k=\frac{21.5}{\sqrt{93.4\times 9.522}}=0.721$$

5.电磁组线圈与大线圈

使用同样的方法测量电磁炉线圈与大线圈之间的互感系数。

^{▲ 电磁炉线圈与大线圈}

• 反向串联：L1=91.08uH
• 同相串联：L2= 126.3uH

互感量M：
$$M=\frac{L_2-L_1}{4}=\frac{126.3-91.08}{4}=8.805\mu H$$

互感系数k:

$$k=\frac{8.805}{\sqrt{93.4\times 13.18}}=0.251$$

6.自绕制线圈与小线圈

自绕制线圈是在直径为86mm的双面贴外面使用利兹线绕制了15圈。它的基本参数为：

• L = 33.47uH; R=148.2mΩ。

^{▲ 自绕制线圈与小线圈}

测量它与小线圈之间的串联电感：

• 同相串联：L1=56.41uH
• 反向串联：L2= 29.46uH

^{▲ 自绕制线圈与小线圈紧耦合在一起}

互感量M:
$$M=\frac{L_1-L_2}{4}=\frac{56.41-29.46}{4}=6.734\mu H$$

互感系数k:
$$k=\frac{6.734}{\sqrt{33.47\times 9.522}}=0.377$$

7.电磁组线圈与自绕制线圈

测量电磁炉线圈与自绕制线圈之间的互感系数。

^{▲ 电磁炉线圈与自绕制线圈}

• 同相串联：L1=186.7uH
• 反向串联：L2= 67…07uH

互感量M：
$$M=\frac{186.7-67.07}{4}=29.91\mu H$$

互感系数k:
$$k=\frac{29.91}{\sqrt{33.47\times 93.4}}=0.535$$

 

▌结论

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通过对于两组空心线圈进行测量，初步验证了前面给出的电感的串联和并联的计算公式。

通过实际测量，不同线圈之间的相互耦合系数k:

线圈组合	耦合系数
小线圈+小线圈	0.804
大线圈+大线圈	0.828
小线圈+大线圈	0.146
电磁炉线圈+小线圈	0.721
电磁炉线圈+大线圈	0.251
自绕制线圈+小线圈	0.377
自绕制线圈+电磁炉线圈	0.535

■ 相关文献链接:

• Mutually coupled inductors. Coupling coefficient. Power and energyof mutually coupled inductors. Analysis of circuits with mutuallycoupled inductor.
• 无线节能线圈参数初步测试
• 无线节能线圈参数以及相互之间耦合初步测试
• 电磁炉线圈初步谐振实验 - 无线信标线圈
• 多股Litz线制作无线耦合线圈测试