二叉堆

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1. 堆(Heap)是一种树状的数据结构, 但是在堆中任意节点的值总是 ≥( ≤ )子节点的值, 并且堆中的元素必须具备可比较性
如果任意节点的值总是 ≥ 子节点的值，称为：最大堆、大根堆、大顶堆
如果任意节点的值总是 ≤ 子节点的值，称为：最小堆、小根堆、小顶堆

2. 二叉堆的逻辑结构就是一棵完全二叉树，所以也叫完全二叉堆, 鉴于完全二叉树的一些特性，二叉堆的底层(物理结构)一般用数组实现即可
索引 i 的规律（ n 是元素数量）
如果 i = 0 ，它是根节点
如果 i > 0 ，它的父节点的索引为 floor( (i – 1) / 2 )
如果 2i + 1 ≤ n – 1，它的左子节点的索引为 2i + 1 如果 2i + 1 > n – 1 ，它无左子节点
如果 2i + 2 ≤ n – 1 ，它的右子节点的索引为 2i + 2 如果 2i + 2 > n – 1 ，它无右子节点

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最大堆的添加

例: 添加元素80

循环执行以下操作:
如果 node > 父节点: 与父节点交换位置
如果 node <= 父节点, 或者 node 没有父节点: 退出循环
这个过程，叫做上滤( Sift Up) 时间复杂度: O(logn)

流程图如下:

优化点: 将新添加的节点备份, 在进行比较时, 如果需要进行上虑操作的话, 就先使用父节点覆盖这个节点, 直至找到不再需要进行上虑的的位置, 然后使用新添加的节点覆盖即可;

/  * 在数组末尾新增一个元素, 然后进行上虑找到合适的位置  */ public void add(E element) {     elementNotNullCheck(element); //判断元素是否合法     ensureCapacity(size + 1); //数组是否需要扩容     elements[size++] = element;     siftUp(size - 1); } /  * 让index位置的元素上滤  * @param index  */ private void siftUp(int index) {     E element = elements[index];     while (index > 0) {         int parentIndex = (index - 1) >> 1;         E parent = elements[parentIndex];         if (compare(element, parent) <= 0) break;                  // 将父元素存储在index位置         elements[index] = parent;                  // 重新赋值index         index = parentIndex;     }     elements[index] = element; }

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最大堆的删除

1.用最后一个节点覆盖根节点
2.删除最后一个节点
3.循环执行以下操作:
如果 node < 最大的子节点: 与最大的子节点交换位置 
如果 node ≥ 最大的子节点, 或者 node 没有子节点: 退出循环
这个过程，叫做下滤(Sift Down), 时间复杂度: O(logn)
同样, 交换位置的操作可以像添加那样进行优化

讯享网/  * 删除堆顶元素  */ public E remove() {     emptyCheck();          int lastIndex = --size;     E root = elements[0];     elements[0] = elements[lastIndex];     elements[lastIndex] = null;         siftDown(0);     return root; } /  * 让index位置的元素下滤  * @param index  */ private void siftDown(int index) {     E element = elements[index];     int half = size >> 1;     // 第一个叶子节点的索引 == 非叶子节点的数量     // index < 第一个叶子节点的索引     // 必须保证index位置是非叶子节点     while (index < half) {          // index的节点有2种情况         // 1.只有左子节点         // 2.同时有左右子节点                  // 默认为左子节点跟它进行比较         int childIndex = (index << 1) + 1;         E child = elements[childIndex];                  // 右子节点         int rightIndex = childIndex + 1;                  // 选出左右子节点最大的那个         if (rightIndex < size && compare(elements[rightIndex], child) > 0) {             child = elements[childIndex = rightIndex];         }         if (compare(element, child) >= 0) break;         // 将子节点存放到index位置         elements[index] = child;         // 重新设置index         index = childIndex;     }     elements[index] = element; }

批量建堆(Heapify)

自上而下的上虑

注意: 绿色图标为进行上虑操作后该位置的元素; 在每一个上虑操作完成后, 数组中存储的元素顺序都可能发生变化

/  * 批量建堆  */ public BinaryHeap(E[] elements, Comparator<E> comparator)  {     super(comparator);          if (elements == null || elements.length == 0) {         this.elements = (E[]) new Object[DEFAULT_CAPACITY];     } else {         size = elements.length;         int capacity = Math.max(elements.length, DEFAULT_CAPACITY);         this.elements = (E[]) new Object[capacity];         for (int i = 0; i < elements.length; i++) {             this.elements[i] = elements[i];         }         heapify();     } }  private void heapify() {     // 自上而下的上滤     for (int i = 1; i < size; i++) {         siftUp(i);     } } /  * 让index位置的元素上滤  * @param index  */ private void siftUp(int index) {     E element = elements[index];     while (index > 0) {         int parentIndex = (index - 1) >> 1;         E parent = elements[parentIndex];         if (compare(element, parent) <= 0) break;                  // 将父元素存储在index位置         elements[index] = parent;                  // 重新赋值index         index = parentIndex;     }     elements[index] = element; }

自下而上的下虑

讯享网/  * 批量建堆  */ public BinaryHeap(E[] elements, Comparator<E> comparator)  {     super(comparator);          if (elements == null || elements.length == 0) {         this.elements = (E[]) new Object[DEFAULT_CAPACITY];     } else {         size = elements.length;         int capacity = Math.max(elements.length, DEFAULT_CAPACITY);         this.elements = (E[]) new Object[capacity];         for (int i = 0; i < elements.length; i++) {             this.elements[i] = elements[i];         }         heapify();     } }  /  * 批量建堆  */ private void heapify() {     // 自下而上的下滤     for (int i = (size >> 1) - 1; i >= 0; i--) {         siftDown(i);     } } /  * 让index位置的元素下滤  * @param index  */ private void siftDown(int index) {     E element = elements[index];     int half = size >> 1;     // 第一个叶子节点的索引 == 非叶子节点的数量     // index < 第一个叶子节点的索引     // 必须保证index位置是非叶子节点     while (index < half) {          // index的节点有2种情况         // 1.只有左子节点         // 2.同时有左右子节点                  // 默认为左子节点跟它进行比较         int childIndex = (index << 1) + 1;         E child = elements[childIndex];                  // 右子节点         int rightIndex = childIndex + 1;                  // 选出左右子节点最大的那个         if (rightIndex < size && compare(elements[rightIndex], child) > 0) {             child = elements[childIndex = rightIndex];         }                  if (compare(element, child) >= 0) break;         // 将子节点存放到index位置         elements[index] = child;         // 重新设置index         index = childIndex;     }     elements[index] = element; }

批量建堆效率比较

所有节点的深度之和:
仅仅是叶子节点，就有近 n/2 个，而且每一个叶子节点的深度都是 O(logn) 级别的
因此，在叶子节点这一块，就达到了 O(nlogn) 级别
O(nlogn) 的时间复杂度足以利用排序算法对所有节点进行全排序

所有节点的高度之和:
假设是满树，节点总个数为 n，树高为 h，那么 n = 2h − 1
所有节点的树高之和 H(n) = 20 ∗ h − 0 + 21 ∗ h − 1 + 22 ∗ h − 2 + ⋯+ 2h −1 ∗ h − h − 1
H(n) = h ∗ 20 + 21 + 22 + ⋯+ 2h −1 − 1 ∗ 21 + 2 ∗ 22 + 3 ∗ 23 + ⋯+ h − 1 ∗ 2h−1
H(n) = h ∗ 2h − 1 − h − 2 ∗ 2h + 2
H(n) = h ∗ 2h − h − h ∗ 2h + 2h+1 − 2
H(n) = 2h+1 − h − 2 = 2 ∗ (2h − 1) − h = 2n − h = 2n − log2(n + 1) = O(n)

TOP K 问题

问题: 从 n 个整数中，找出最大的前 k 个数( k 远远小于 n )

思路:
1. 新建一个小顶堆
2. 扫描 n 个整数
先将遍历到的前 k 个数放入堆中
从第 k + 1 个数开始, 如果大于堆顶元素, 就使用 replace 操作(删除堆顶元素, 将第 k + 1 个数添加到堆中)
3. 扫描完毕后，堆中剩下的就是最大的前 k个数

代码:

// 新建一个小顶堆 BinaryHeap<Integer> heap = new BinaryHeap<>(new Comparator<Integer>() {     public int compare(Integer o1, Integer o2) {         return o2 - o1;     } }); // 找出最大的前k个数 int k = 3; Integer[] data = {51, 30, 39, 92, 74, 25, 16, 93, 91, 19, 54, 47, 73, 62, 76, 63, 35, 18, 90, 6, 65, 49, 3, 26, 61, 21, 48}; for (int i = 0; i < data.length; i++) {     if (heap.size() < k) { // 前k个数添加到小顶堆         heap.add(data[i]); // logk     } else if (data[i] > heap.get()) { // 如果是第k + 1个数，并且大于堆顶元素         heap.replace(data[i]); // logk     } }

参考资料: <<恋上数据结构与算法>>