我朋友曾经经历过奇葩面试，面试官直接给出一张白纸，要求用微积分计算圆的面积，他于是在白纸上画了一个圆，再分割为一个个小三角形，然后给出了结果。但是面试官不满意，认为这不是用微积分的知识。这种方式是小学课本上的方式，我觉得吧，虽然没用到大学微积分的知识，但是用了微积分的思想。我听完他的故事，瞬间明白了。面试官是要我朋友计算下面的积分：
2 ∫ − r r r 2 − x 2 d x 2\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx 2∫−rrr2−x2dx
直接用 r 2 r^2 r2比较难，先来个简单的，假设圆的半径为1，也就是计算下面这个不定积分：
∫ 1 − x 2 d x \int \sqrt{1-x^2}dx ∫1−x2dx
直接这样算是算不出来的，需要用换元法，我们让 x = s i n u x=sin \ u x=sin u，那么 d x = c o s u d u dx=cos \ u \ du dx=cos u du。所以有：
∫ 1 − x 2 d x = ∫ 1 − s i n 2 u c o s u d u = ∫ c o s 2 u c o s u d u \int \sqrt{1-x^2}dx=\int \sqrt{1-sin^2 \ u} cos \ u \ du=\int \sqrt{cos^2 \ u} cos \ u \ du ∫1−x2dx=∫1−sin2 ucos u du=∫cos2 ucos u du
到这一步，那就简单了啊。但是能直接开根号吗？我们确定定义域，因为计算的是半圆的不定积分，所以 x ∈ [ − 1 , 1 ] , ∴ u ∈ [ − π 2 ， π 2 ] x \in [-1,1], \therefore u \in [-\frac{\pi}2，\frac{\pi}2] x∈[−1,1],∴u∈[−2π，2π]，那这就有了 c o s u ≥ 1 cos \ u \ge 1 cos u≥1啊，所以直接脱去根号了，继续下去：
∫ c o s 2 u c o s u d u = ∫ c o s 2 u d u \int \sqrt{cos^2 \ u} cos \ u \ du=\int cos^2 \ u \ du ∫cos2 ucos u du=∫cos2 u du
这个时候，就需要用到三角函数倍角公式了：
c o s 2 x = c o s 2 x − s i n 2 x = 2 c o s 2 x − 1 ⇒ c o s 2 x = c o s 2 x + 1 2 cos \ 2x = cos^2 \ x- sin^2 \ x=2cos^2 \ x -1\\ \Rightarrow cos^2 \ x=\frac{cos \ 2x +1}2 cos 2x=cos2 x−sin2 x=2cos2 x−1⇒cos2 x=2cos 2x+1
所以只能接着计算了啊:
∫ c o s 2 u d u = s i n 2 u 4 + u 2 + C ∵ u = a r c s i n x ∴ ∫ c o s 2 u d u = s i n ( 2 a r c s i n x ) 4 + a r c s i n x 2 + C \int cos^2 \ u \ du =\frac{sin \ 2u}4+\frac{u}2+C\\ \because u=arcsin \ x\\ \therefore \int cos^2 \ u \ du =\frac{sin (2arcsin \ x)}4+\frac{arcsin \ x}2+C\\ ∫cos2 u du=4sin 2u+2u+C∵u=arcsin x∴∫cos2 u du=4sin(2arcsin x)+2arcsin x+C
只剩下一个很丑的部分 s i n ( 2 a r c s i n x ) sin (2arcsin \ x) sin(2arcsin x)，这部分是可以优化的，有用到了三角函数的倍角公式。这次是正弦：
s i n 2 x = 2 s i n x c o s x sin \ 2x = 2 sin \ x cos \ x sin 2x=2sin xcos x
所以对这一部分继续改写：
s i n ( 2 a r c s i n x ) = 2 s i n ( a r c s i n x ) c o s ( a r c s i n x ) = 2 x c o s ( a r c s i n x ) = 2 x 1 − s i n 2 ( a r c s i n x ) = 2 x 1 − x 2 sin (2arcsin \ x)=2sin \ (arcsin \ x) cos \ (arcsin \ x) \\ =2xcos \ (arcsin \ x) \\ =2x\sqrt{1-sin^2 (arcsin \ x)}\\ =2x\sqrt{1-x^2} sin(2arcsin x)=2sin (arcsin x)cos (arcsin x)=2xcos (arcsin x)=2x1−sin2(arcsin x)=2x1−x2
所以最终结果出来了啊：
∫ 1 − x 2 d x = 2 x 1 − x 2 4 + a r c s i n x 2 + C = x 1 − x 2 2 + a r c s i n x 2 + C \int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{2x\sqrt{1-x^2}}4+\frac{arcsin \ x}2+C\\ =\frac{x\sqrt{1-x^2}}2+\frac{arcsin \ x}2+C ∫1−x2dx=42x1−x2+2arcsin x+C=2x1−x2+2arcsin x+C
把上述不定积分定为 F ( x ) F(x) F(x),那定积分就是 F ( 1 ) − F ( − 1 ) F(1)-F(-1) F(1)−F(−1)：
F ( 1 ) = 1 1 − 1 2 + a r c s i n 1 2 + C = π 4 + C F ( − 1 ) = 1 1 − 1 2 + a r c s i n − 1 2 + C = − π 4 + C 2 ∫ − 1 1 1 − x 2 d x = 2 [ F ( 1 ) − F ( − 1 ) ] = π F(1)=\frac{1\sqrt{1-1}}2+\frac{arcsin \ 1}2+C=\frac{\pi}4+C\\ F(-1)=\frac{1\sqrt{1-1}}2+\frac{arcsin \ -1}2+C=-\frac{\pi}4+C\\ 2\int^1_{-1} \sqrt{1-x^2}dx=2[F(1)-F(-1)]=\pi F(1)=211−1+2arcsin 1+C=4π+CF(−1)=211−1+2arcsin −1+C=−4π+C2∫−111−x2dx=2[F(1)−F(−1)]=π
哇，单位圆的面积就这么用微积分知识求出来了啊。如果换成通用的圆的面积也好办，就是先求以下不定积分：
x = r s i n u ， d x = r c o s u d u ∫ r 2 − x 2 d x = ∫ r 2 c o s 2 u d u = r 2 ∫ c o s 2 u d u = r 2 s i n 2 u 4 + r 2 u 2 + C = 2 r 2 s i n u 1 − s i n 2 u 4 + r 2 u 2 + C x=rsin \ u，dx = rcos\ u du\\ \int \sqrt{r^2-x^2}dx\\=\int r^2cos^2\ u\ du\\ =r^2\int cos^2\ u\ du\\ =\frac{r^2sin \ 2u}4+\frac{r^2u}2+C\\ =\frac{2r^2sin \ u\sqrt{1-sin^2 \ u}}4+\frac{r^2u}2+C x=rsin u，dx=rcos udu∫r2−x2dx=∫r2cos2 u du=r2∫cos2 u du=4r2sin 2u+2r2u+C=42r2sin u1−sin2 u+2r2u+C
最后换回去：
u = a r c s i n x r ∫ r 2 − x 2 d x = 2 r 2 s i n u 1 − s i n 2 u 4 + r 2 u 2 + C = 2 r 2 s i n ( a r c s i n x r ) 1 − s i n 2 ( a r c s i n x r ） 4 + r 2 a r c s i n x r 2 + C = 2 r 2 x r 1 − ( x r ) 2 4 + r 2 a r c s i n x r 2 + C = r x 1 − ( x r ) 2 2 + r 2 a r c s i n x r 2 + C u=arcsin\frac{x}r\\ \int \sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{2r^2sin \ u\sqrt{1-sin^2 \ u}}4+\frac{r^2u}2+C\\ =\frac{2r^2sin (arcsin\frac{x}r)\sqrt{1-sin^2 (arcsin\frac{x}r）}}4+\frac{r^2arcsin\frac{x}r}2+C\\ =\frac{2r^2\frac{x}r\sqrt{1-(\frac{x}r)^2}}4+\frac{r^2arcsin\frac{x}r}2+C\\ =\frac{rx\sqrt{1-(\frac{x}r)^2}}2+\frac{r^2arcsin\frac{x}r}2+C u=arcsinrx∫r2−x2dx=42r2sin u1−sin2 u+2r2u+C=42r2sin(arcsinrx)1−sin2(arcsinrx）+2r2arcsinrx+C=42r2rx1−(rx)2+2r2arcsinrx+C=2rx1−(rx)2+2r2arcsinrx+C
最后定积分的牛顿莱布尼兹公式代进去：
F ( r ) = r 2 1 − ( r r ) 2 2 + r 2 a r c s i n r r 2 + C = r 2 1 − ( 1 ) 2 2 + r 2 a r c s i n 1 2 + C = 0 + r 2 a r c s i n 1 2 + C = r 2 π 4 + C F ( − r ) = r 2 1 − ( − r r ) 2 2 + r 2 a r c s i n − r r 2 + C = r 2 1 − ( − 1 ) 2 2 + r 2 a r c s i n − 1 2 + C = 0 + r 2 a r c s i n − 1 2 + C = − r 2 π 4 + C F(r)=\frac{r^2\sqrt{1-(\frac{r}r)^2}}2+\frac{r^2arcsin\frac{r}r}2+C\\ =\frac{r^2\sqrt{1-(1)^2}}2+\frac{r^2arcsin\ 1}2+C\\ =0+\frac{r^2arcsin\ 1}2+C=\frac{r^2\pi}4+C\\ F(-r)=\frac{r^2\sqrt{1-(\frac{-r}r)^2}}2+\frac{r^2arcsin\frac{-r}r}2+C\\ =\frac{r^2\sqrt{1-(-1)^2}}2+\frac{r^2arcsin\ -1}2+C\\ =0+\frac{r^2arcsin\ -1}2+C=-\frac{r^2\pi}4+C\\ F(r)=2r21−(rr)2+2r2arcsinrr+C=2r21−(1)2+2r2arcsin 1+C=0+2r2arcsin 1+C=4r2π+CF(−r)=2r21−(r−r)2+2r2arcsinr−r+C=2r21−(−1)2+2r2arcsin −1+C=0+2r2arcsin −1+C=−4r2π+C
所以半圆的面积就是：
∫ − r r r 2 − x 2 d x = F ( r ) − F ( − r ) = π r 2 2 \int^r_{-r} \sqrt{r^2-x^2}dx=F(r)-F(-r)=\frac{\pi r^2}2 ∫−rrr2−x2dx=F(r)−F(−r)=2πr2
那么圆的面积就是：
2 ∫ − r r r 2 − x 2 d x = F ( r ) − F ( − r ) = π r 2 2\int^r_{-r} \sqrt{r^2-x^2}dx=F(r)-F(-r)=\pi r^2 2∫−rrr2−x2dx=F(r)−F(−r)=πr2
三角换元积分法
三角换元积分法我朋友曾经经历过奇葩面试 面试官直接给出一张白纸 要求用微积分计算圆的面积 他于是在白纸上画了一个圆 再分割为一个个小三角形 然后给出了结果 但是面试官不满意 认为这不是用微积分的知识 这种方式是小学课本上的方式 我觉得吧 虽然没用到大学微积分的知识 但是用了微积分的思想
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