考察具有对数效用函数与柯布道格拉斯生产函数的戴蒙德模型。当产生某些变化是如何影响作为 k t k_t kt的函数 k t + 1 k_{t+1} kt+1。
- n n n的上升
t + 1 t+1 t+1期的资本存量等于年轻人在 t t t期的储蓄，因此
K t + 1 = s ( r t + 1 ) L t A t w t K_{t+1}=s(r_{t+1})L_tA_tw_t Kt+1=s(rt+1)LtAtwt
两边同除以 A t + 1 L t + 1 A_{t+1}L_{t+1} At+1Lt+1得单位有效劳动的平均资本
k t + 1 = 1 ( n + 1 ) ( 1 + g ) s ( r t + 1 ) w t k_{t+1}=\frac{1}{(n+1)(1+g)}s(r_{t+1})w_t kt+1=(n+1)(1+g)1s(rt+1)wt
其中 r t + 1 = f ′ ( k t + 1 ) , w t = f ( k t ) − k t f ′ ( k t ) r_{t+1}=f'(k_{t+1}),w_t=f(k_t)-k_tf'(k_t) rt+1=f′(kt+1),wt=f(kt)−ktf′(kt).
k t + 1 = 1 ( n + 1 ) ( 1 + g ) s ( f ′ ( k t + 1 ) ) [ f ( k t ) − k t f ′ ( k t ) ] k_{t+1}=\frac{1}{(n+1)(1+g)}s(f'(k_{t+1}))[f(k_t)-k_tf'(k_t)] kt+1=(n+1)(1+g)1s(f′(kt+1))[f(kt)−ktf′(kt)]
已知 s ( r ) = ( 1 + r ) ( 1 − θ ) / θ ( 1 + ρ ) 1 / θ + ( 1 + r ) ( 1 − θ ) / θ s(r)=\frac{(1+r)^{(1-\theta)/\theta}}{(1+\rho)^{1/\theta}+(1+r)^{(1-\theta)/\theta}} s(r)=(1+ρ)1/θ+(1+r)(1−θ)/θ(1+r)(1−θ)/θ
当 θ = 1 \theta=1 θ=1, s ( r ) s(r) s(r)与 r r r无关
s ( r ) = 1 2 + ρ s(r)=\frac{1}{2+\rho} s(r)=2+ρ1
而且当生产函数为柯布道格拉斯生产函数时， f ( k ) = k a , f ′ ( k ) = a k a − 1 f(k)=k^a,f'(k)=ak^{a-1} f(k)=ka,f′(k)=aka−1,代入 k t + 1 k_{t+1} kt+1表达式得
k t + 1 = 1 ( 1 + n ) ( 1 + g ) 1 2 + ρ ( 1 − a ) k t a k_{t+1}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\frac{1}{2+\rho}(1-a)k_t^a kt+1=(1+n)(1+g)12+ρ1(1−a)kta
那么 n n n的上升会使 k t + 1 k_{t+1} kt+1向下移动。 - a a a的上升。
对 k t + 1 k_{t+1} kt+1的表达式进行求导
∂ k t + 1 ∂ a = 1 ( 1 + n ) ( 1 + g ) 1 2 + ρ [ − k t a + ( 1 − a ) ∂ k t a ∂ a ] \frac{\partial k_{t+1}}{\partial a}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\frac{1}{2+\rho}[-k_t^a+(1-a)\frac{\partial k_t^a}{\partial a}] ∂a∂kt+1=(1+n)(1+g)12+ρ1[−kta+(1−a)∂a∂kta]
其中
∂ k t a ∂ a = ∂ k t a ∂ ( l n k t a ) ∂ ( l n k t a ) ∂ a = 1 ∂ l n k t a / ∂ k t a a l n k t ∂ a = k t a l n k t \frac{\partial k_t^a}{\partial a}=\frac{\partial k_t^a}{\partial (lnk_t^a)}\frac{\partial (lnk_t^a)}{\partial a}\\=\frac{1}{\partial lnk_t^a/\partial k_t^a}\frac{alnk_t}{\partial a}=k_t^alnk_t ∂a∂kta=∂(lnkta)∂kta∂a∂(lnkta)=∂lnkta/∂kta1∂aalnkt=ktalnkt
代入得
∂ k t + 1 ∂ a = 1 ( 1 + n ) ( 1 + g ) 1 2 + ρ [ − k t a + ( 1 − a ) k t a l n k t ] = 1 ( 1 + n ) ( 1 + g ) 1 2 + ρ k t [ ( 1 − a ) l n k t − 1 ] \frac{\partial k_{t+1}}{\partial a}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\frac{1}{2+\rho}[-k_t^a+(1-a)k_t^alnk_t]\\=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\frac{1}{2+\rho}k_t[(1-a)lnk_t-1] ∂a∂kt+1=(1+n)(1+g)12+ρ1[−kta+(1−a)ktalnkt]=(1+n)(1+g)12+ρ1kt[(1−a)lnkt−1]
当 ( 1 − a ) l n k t − 1 ] > 0 (1-a)lnk_t-1]>0 (1−a)lnkt−1]>0,一阶导大于0，所以 k t + 1 k_{t+1} kt+1随着 a a a的增大而增大。
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