2025年函数的间断点

科技前沿 • 2025-02-21 12:49 • 阅读 43

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设 f(x) 在点 x0 的某去心邻域中有定义，

在这个前提下，如果 f(x) 有一下三种情形之一：
1、在 x=x0 处没有定义；
2、虽在 x=x0 处有定义，但 limx→x0f(x) 不存在；
3、虽在 x=x0 处有定义，且 limx→x0f(x) 存在，但 limx→x0f(x)≠f(x0) ，

那么 f(x) 在点 x0 处为不连续，而点 x0 称为函数 f(x) 的间断点。

函数间断点通常分为两大类：第一类间断点和第二类间断点，左右极限都存在的间断点称为第一类间断点，其它的则都是第二类间断点。

函数间断点通常有以下几种常见类型：
1、无穷间断点；
2、震荡间断点；
3、可去间断点；
4、跳跃间断点，

下面对几种间断点进行详解：
1、无穷间断点
定义：函数 f(x) 在 x0 处没有定义，且在 x0 处的左右极限至少有一个不存在，则 x0 为 f(x) 的无穷间断点。

例： f(x)=tanx 在 x=π2 处没有定义，所以 x=π2 为 f(x)=tanx 的间断点。
这里写图片描述
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f(x)=tanx 在 x=π2 处既没有左极限也没有右极限，所以 x=π2 为 f(x)=tanx 的无穷间断点。

2、震荡间断点
定义：函数 f(x) 在 x0 处没有定义，且在 x 趋近于 x0 时其函数值在某个范围内无限次变动，则 x0 为 f(x) 的震荡间断点。

例： f(x)=sin1x 在 x=0 处没有定义，所以 x=0 为 f(x)=sin1x 的间断点。
这里写图片描述
f(x)=sin1x 在 x→x0 时，函数值在-1到+1之间变动无限多次，所以 x=0 为 f(x)=sin1x 的震荡间断点。

3、可去间断点
定义：函数 f(x) 在 x0 处没有定义或定义点的函数值不能使 f(x) 成为一个连续函数，且若在 x0 处能通过补充定义使 f(x) 成为连续，则 x0 为 f(x) 的可去间断点。

例： f(x)=x2−1x−1 在 x=1 处没有定义，所以 x=1 为 f(x)=x2−1x−1 的间断点。
这里写图片描述
但如果补充定义：令 x=1 时 f(x)=2 ，那么 f(x) 即成为了连续函数，所以 x=1 为 f(x)=x2−1x−1 的可去间断点。

4、跳跃间断点
定义： f(x) 在 x0 处有定义，且 limx→x0f(x) 存在，但左右极限不相等，则 x0 为 f(x) 的跳跃间断点。

例：

f(n)=⎧⎩⎨x−1,0,x+1,x < 0x = 0x > 0