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高等数学 —— 函数的定义及几种特性

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高等数学 —— 函数的定义及几种特性函数是数集到数集的映射 函数 定义 设数集 为实数集 则称映射 为定义在上的函数 简记为 其中 称为自变量 称为因变量 称为定义域 记作 即 值域 每个 都有唯一确定的 值与之对应 称为函数 在

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函数是数集到数集的映射

函数

定义

设数集D\subset R
讯享网，R为实数集，则称映射 f: D\rightarrow R 为定义在D上的函数，简记为：

y=f(x), x\in D

其中 x 称为自变量，y 称为因变量， D 称为定义域，记作 D_{f}，即 D_{f}=D，值域 R_{f}=f(D)

每个 x∈D，都有唯一确定的 y 值与之对应，称为函数 f 在 x 处的函数值。

这种依赖关系通常称为函数关系。

  • 函数两要素：D_{f}，f  （因为值域一定落在实数集R，所以不用再作为要素。映射的值域可以是任意的东西）
  • 函数表示的三种方法：表格法，图形法，解析式

符号函数：用来表示 x 的正负性

y=sgn(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & x>0\\ 0 & x=0\\ 1& x <0 \end{matrix}\right. 

[x] 表示不超过 x 的最大整数

函数的几种特性

1. 有界性

上界：\exists K1，f(x)\leqslant K1，K1就是 f(x) 在X 上的一个上界。上界不唯一。如果f(x)\leqslant n，那么 f(x)\leqslant n+1 一定成立。

下界：\exists K2，f(x)\geqslant K2，K2就是 f(x) 在X 上的一个下界。同理，下界不唯一。

有界：如果存在正数M，即 \exists M\in N^{+} ，使得 \left | f(x) \right |\leqslant M

无界：任给正数M，即 \forall M\in N^{+}，都 \exists x_{1}\in X，使得 \left | f(x_{1}) \right |> M

有界 \Leftrightarrow 既有上界也有下界  （\Leftrightarrow 表示：充分必要条件）

2. 单调性

单调增：\forall x_{1}<x_{2}，f(x_{1})<f(x_{2})，该函数单调递增

单调减：\forall x_{1}<x_{2}，f(x_{1})>f(x_{2})，该函数单调递减

3. 奇偶性

D 关于原点对称，如果 f(-x)=f(x)，即为偶函数；如果 f(-x)=-f(x)，即为奇函数。偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。

4. 周期性

\exists l\in N^{+} (存在正数 l)，f(x+l)=f(x)，l 就是函数 f(x) 的周期。

周期有无数个(2l，3l...)，我们所说的周期一般都是最小周期。

并非每个函数都有最小周期。

迪利克雷（Dirichlet）函数，任何正有理数 r 都是他的周期，f(x+r)=f(x)，因此不存在最小的正有理数周期。

D(x)=\left\{\begin{matrix} 1 &x\in Q \\ 0& x\in Q^{c} \end{matrix}\right.    （Q 有理数，Q^{c} 无理数）

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