施密特正交化
目的: 将任意基转化为标准正交基
下图为步骤, 文章后面有详解
原基 → \rightarrow → 正交基 → \rightarrow → 标准正交基
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1.空间 R 1 R^1 R1 的规范正交基求法
直接对某个基规范化即可
2.空间 R 2 R^2 R2 的规范正交基求法
任意两个向量 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2 作为基
第一步将 α 1 \alpha_1 α1 更名为 β 1 \beta_1 β1
第二步求 β 2 \beta_2 β2 : 将 α 2 \alpha_2 α2 向 α 1 \alpha_1 α1 进行投影, 得到投影向量, 然后用 α 2 \alpha_2 α2 减去投影向量, 得到垂直于 α 1 \alpha_1 α1 的向量, 即此向量 β 2 \beta_2 β2 垂直于 β 1 \beta_1 β1
第三步:对正交向量 β 1 , β 2 \beta_1,\beta_2 β1,β2 单位化,得到标准正交基 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2
β 1 ⋅ α 2 = ∣ α 2 ∣ ⋅ ∣ β 1 ∣ ⋅ c o s θ ∣ α 2 ∣ ⋅ c o s θ = β 1 ⋅ α 2 ∣ β 1 ∣ 左 右 两 侧 均 乘 β 1 ∣ β 1 ∣ ∣ α 2 ∣ ⋅ c o s θ ⋅ β 1 ∣ β 1 ∣ = β 1 ⋅ α 2 ∣ β 1 ∣ ⋅ β 1 ∣ β 1 ∣ = β 1 ⋅ α 2 ∣ β 1 ∣ 2 ⋅ β 1 = ( β 1 , α 2 ) ( β 1 , β 1 ) ⋅ β 1 β 2 = α 2 − ( β 1 , α 2 ) ∣ β 1 ∣ 2 ⋅ β 1 = α 2 − ( β 1 ∣ β 1 ∣ , α 2 ) β 1 ∣ β 1 ∣ = α 2 − ( e 1 , α 2 ) e 1 \beta_1 \cdot \alpha_2 = |\alpha_2| \cdot |\beta_1| \cdot cos\theta \\ \\ |\alpha_2| \cdot cos\theta = \frac{\beta_1\cdot \alpha_2}{|\beta_1|} \\ \\ 左右两侧均乘\frac{\beta_1}{|\beta_1|}\\ |\alpha_2| \cdot cos\theta \cdot \frac{\beta_1}{|\beta_1|}=\frac{\beta_1\cdot \alpha_2}{|\beta_1|} \cdot \frac{\beta_1}{|\beta_1|}=\frac{\beta_1\cdot \alpha_2}{|\beta_1|^2} \cdot \beta_1=\frac{(\beta_1,\alpha_2)}{(\beta_1,\beta_1)} \cdot \beta_1 \\ \beta_2= \alpha_2 - \frac{(\beta_1,\alpha_2)}{|\beta_1|^2}\cdot \beta_1=\alpha_2 - (\frac{\beta_1}{|\beta_1|},\alpha_2)\frac{\beta_1}{|\beta_1|}=\alpha_2 -(e_1,\alpha_2)e_1 β1⋅α2=∣α2∣⋅∣β1∣⋅cosθ∣α2∣⋅cosθ=∣β1∣β1⋅α2左右两侧均乘∣β1∣β1∣α2∣⋅cosθ⋅∣β1∣β1=∣β1∣β1⋅α2⋅∣β1∣β1=∣β1∣2β1⋅α2⋅β1=(β1,β1)(β1,α2)⋅β1β2=α2−∣β1∣2(β1,α2)⋅β1=α2−(∣β1∣β1,α2)∣β1∣β1=α2−(e1,α2)e1
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