2025年向量的内积和外积

科技前沿 • 2025-01-13 12:44 • 阅读 49

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本文参考：https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html

一、向量的内积
1.1向量内积的定义

向量内积（点乘/点积/数量积）：两个向量对应元素相乘之后求和：

$a=[a_{1},a_{2},...a_{n}]$
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$b=[b_{1},b_{2},...b_{n}]$

$a\cdot b=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+...+a_{n}\cdot b_{n}$

注意：点乘的结果是一个标量，而不是向量。

1.2向量内积的性质

(λa + μb)·c = λa·c + μb·c，对任意实数λ, μ成立（线性）
cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|)
|a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成立

1.3向量内积的几何意义

表征或计算两个向量之间的夹角
b向量在a向量方向上的投影

公式 $a\cdot b=\left | a \right |\left | b \right |cos\theta$ 推导过程如下，首先看一下向量组成：

根据余弦定理有：

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\left | a \right |\left | b \right |cos\theta$

将c=a-b带入上式中得出：

$(a-b)(a-b)=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b=a^{2}+b^{2}-2\left | a \right |\left | b \right |cos\theta$

因此可以得出：

$a\cdot b=\left | a \right |\left | b \right |cos\theta$

则：

$\theta =arccos(\frac{a\cdot b}{\left | a \right |\left | b \right |})$

进而可以判断两个向量的位置关系：

a∙b>0：方向相同，夹角在0°到90°之间
a∙b=0：正交，相互垂直
a∙b<0：方向相反，夹角在90°到180°之间

二、向量的外积
2.1向量外积的定义

向量外积（叉乘/叉积/向量积）：向量a与b的外积是一个向量，其方向正交于a与b，并且(a,b,a×b)构成右手系。其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，为a、b构成的四边形的面积。

a和b的外积公式为：

$a=(x_{1},y_{1},z_{1})$

$b=(x_{2},y_{2},z_{2})$

$a\times b=\begin{vmatrix} i & j & k\\ x_{1}& y_{1} & z_{1}\\ x_{2}& y_{2} & z_{2} \end{vmatrix}=(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1})i-(x_{1}z_{2}-x_{2} z_{1})j+(x_{1}y_{2}-x_{2} y_{1})k$

还可写成：

$a\times b=\begin{bmatrix} i & j& k\\ a_{1}& a_{2}& a_{3} \\ b_{1}& b_{2} & b_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\\ a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}\\ a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -a_{3}&a_{2} \\ a_{3}& 0& -a_{1}\\ -a_{2}& a_{1}& 0 \end{bmatrix}b=a^{\wedge }b$

其中 $a^{\wedge }$ 是反实对称矩阵，a、b的外积写成了矩阵与向量的乘法，即线性运算。

2.2向量外积的性质

a × b = -b × a. （反称性）
(λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （线性）

2025年向量的内积和外积

一、向量的内积

1.1向量内积的定义

1.2向量内积的性质

1.3向量内积的几何意义

二、向量的外积

2.1向量外积的定义

2.2向量外积的性质

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