线性代数——柯西不等式

科技前沿 • 2025-03-15 12:37 • 阅读 46

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一、柯西不等式

1、基本介绍

设 $a_{i}$
讯享网， $b_{i}\in R$ ，其中 i=1,2,...,n ，则 $(\sum ^{n}_{i=1}a_{i}b_{i})^{2}\leq (\sum ^{n}_{i=1}a_{i}^{2})(\sum ^{n}_{i=1}b_{i}^{2})$ ，取等时， $\frac{a_{1}}{b_{1}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，即 $a_{i}=\lambda b_{i}$ 。

2、证明

取向量 $\overrightarrow{m}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ ， $\overrightarrow{n}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ 。

因为 $\left | \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}\right|=\left | \overrightarrow{m}\right| \cdot \left | \overrightarrow{n}\right|\cdot cos\theta \leq \left | \overrightarrow{m}\right| \cdot \left | \overrightarrow{n}\right|$ ，

$\left ( \left | \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}\right| \right )^{2}=(\sum ^{n}_{i=1}a_{i}b_{i})^{2}$ ， $\left ( \left | \overrightarrow{m}\right| \cdot \left | \overrightarrow{n}\right| \right )^{2}=(\sum ^{n}_{i=1}a_{i}^{2})(\sum ^{n}_{i=1}b_{i}^{2})$ 。

所以 $(\sum ^{n}_{i=1}a_{i}b_{i})^{2}\leq (\sum ^{n}_{i=1}a_{i}^{2})(\sum ^{n}_{i=1}b_{i}^{2})$ 成立，取等时 $cos\theta =1$ ，此时 $\overrightarrow{m}=\lambda \overrightarrow{n}$ ， $a_{i}=\lambda b_{i}$ 。

根据以上的证明所得 $(\left | \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}\right|)^{2}\leq \left ( \left | \overrightarrow{m}\right| \cdot \left | \overrightarrow{n}\right| \right )^{2}$ ，我们可以将柯西不等式理解为：两个向量的内积的模长的平方，小于等于两者模长的平方的积。

3、向量的柯西不等式

以上的柯西不等式，其实是向量柯西不等式在代数上的推广，向量的柯西不等式有： $-\left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right| \leq \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \leq \left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right|$ 。

证明：根据余弦函数的性质，对任意的 $\theta$ ，有 $-1 \leq cos\theta \leq 1$ ，两边同时乘以 $\left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right|$ ，有 $-\left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right| \leq \left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right|cos\theta \leq \left | \overrightarrow{a}\right| \cdot \left | \overrightarrow{b}\right|$ 。