齐次坐标变换坐标变换坐标系变换旋转矩阵坐标旋转坐标系旋转欧拉角 Matlab 平移旋转

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平移齐次坐标变换：

空间某点由矢量 $a\boldsymbol{i}+b\boldsymbol{j}+c\boldsymbol{k}$
讯享网描述。其中， $\boldsymbol{i,j,k}$ 为轴 x,y,z 上的单位矢量。此点可用平移齐次变换表示为：

$Trans(a,b,c)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b\\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

旋转齐次坐标变换：

表，表 cos ，非齐次去掉第四行第四列就行了。

绕x轴作转角为 $\theta$ 的旋转变换：

$Rot(x,\theta )=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c\theta & -s\theta & 0 \\ 0 & s\theta & c\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

绕y轴作转角为 $\theta$ 的旋转变换：

$Rot(y,\theta )=\begin{bmatrix} c\theta & 0 & s\theta & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ -s\theta & 0 & c\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

绕z轴作转角为 $\theta$ 的旋转变换：

$Rot(z,\theta )=\begin{bmatrix} c\theta & -s\theta & 0 & 0 \\ s\theta & c\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

如果先让物体绕z轴旋转90°，接着绕y轴旋转90°，再沿x轴方向平移1个单位（右手坐标系，右手定则旋转），则：

T=Trans(1,0,0)Rot(y,90)Rot(z,90)

eul2rotm() (MatlabR2016a)

eul=[angle1 angle2 angle3] 时

eul2rotm(eul,'ZYX') 是先绕X轴旋转angle3，再绕Y轴旋转angle2，再绕Z轴旋转angle1。（ eul2rotm中为弧度）

如：

eul = [pi pi/2 pi/2]; rotm1 = eul2rotm(eul,'ZYX'); rotm1*[0 1 0]'

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表示 [0;1;0]，先绕X轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，最后绕Z轴旋转180°（右手坐标系，右手定则旋转），结果为 [-1;0;0]。

也可以：

讯享网eul2 = rad2deg([pi pi/2 pi/2]); rotm2 = rotz(eul2(1)) * roty(eul2(2)) * rotx(eul2(3)); rotm2*[0 1 0]'

结果也为 [-1;0;0]（rotx,y,z 中为角度）。

点绕坐标系旋转与坐标系自身旋转

坐标系不动，点绕坐标系旋转：

[-1,0,0]'= Rotz(180)*Roty(90)*Rotx(90)*[0,1,0]'

上式表示：坐标系C下的点 $P_{c}=[0,1,0]'$ ，先绕C的X轴旋转90°，再绕C的Y轴旋转90°，最后绕C的Z轴旋转180°（右手坐标系，右手定则旋转），则新的坐标(坐标系C下)为 $P_{c}^{'} =[-1,0,0]'$ 。

即： $R_{xyz} = Rotz(180)*Roty(90)*Rotx(90),P_{c}^{'} = R_{xyz}*P_{c}$

同一个点，坐标系自身的旋转：

设一开始坐标系C1和坐标系C2重合，且坐标系C2经过先绕C1的X轴旋转90°，再绕C1的Y轴旋转90°，最后绕C1的Z轴旋转180°的变换后为新的坐标系C2（等同于坐标系C2经过先绕C2的Z轴旋转180°到C2'，再绕C2'的Y轴旋转90°到C2''，最后绕C2''的X轴旋转90°）。

则这个过程可视作坐标系C1 到 (新)坐标系C2的旋转变换（整个过程坐标系C1未动）：

$_{c2}^{c1}\textrm{R}=Rotz(180)*Roty(90)*Rotx(90)$ ，此时 $_{c2}^{c1}\textrm{R}$ 也描述 (新)坐标系C2相对于坐标系C1的方位。

若将 [0,1,0]' 看做坐标系C2下的坐标 $P_{c2}$ ，将 [-1,0,0]' 看做坐标系C1下的点 $P_{c1}$ ，则 $P_{c1}= _{c2}^{c1}\textrm{R} *P_{c2}$ ，即坐标系C1中的点 $P_{c1}$ 可在坐标系C2中表示为 $P_{c2}$ (反之亦然)。