7.3、向量空间的简要回顾

​ 在开始讨论格之前，我们先提醒读者注意线性代数中的一些重要定义和思想。向量空间的定义可以非常宽泛，但就本章而言，我们只需考虑对于某个正整数 m，包含在$R^m$中的向量空间即可。

​ 我们从研究向量空间必不可少的基本定义开始

​ 向量空间。 向量空间 V 是 $R^m$ 的子集，其性质是：
$$a_1{v}_1+a_2{v}_2\in V对于所有的v_1,v_2\in V和所有的a_1,a_2\in R$$
​ 等价地，向量空间是$R^m$​的一个子集，它对R的元素的加法和标量乘法封闭。

​ 线性组合。 设$v_1,v_2,...,v_k\in V$。$v_1,v_2,...,v_k\in V$ 的线性组合是任何形式的向量:
$$w=a_1{v}_1+a_2{v}_2+...+a_k{v}_{k}with{a}_1,...,a_k\in R$$
​ 所有这些线性组合的集合，
{ a 1 v 1 + . . . + a k v k : a 1 , . . . , a k ∈ R } \{a_{1}v_{1}+...+a_{k}v_{k}:a_{1},...,a_{k} \in R\} { a1​v1​+...+ak​vk​:a1​,...,ak​∈R}
​ 称为 {v1,…, vk} 的扩张空间(span)。补充：扩张空间： 即向量张成的线性空间

​ 无关性。 一组向量 $v_1,v_2,...,v_k\in V$​ 是（线性）独立的，如果要得到
$$a_1{v}_1+a_2{v}_2+...+a_k{v}_k=0(7.5)$$
​ 如果我们能使 (7.5) 成真，且至少有一个 $a_i$ 非零，那么这个集合就是（线性）相关集合。

​ 基。 V 的基是一组跨(span-张成空间) V 的线性无关向量 $v_1,v_2,...,v_n$。这等同于说，对于 α1，…，αn∈ R 的唯一选择，每个向量 w∈V 都可以写成这种形式。
$$w=a_1{v}_1+a_2{v}_2+...+a_n{v}_n$$
​ 接下来，我们描述了不同基之间的关系和重要的维数概念。

​ 命题 7.11. 设 V ⊂ $R^m$ 是一个向量空间。
（a）存在V的一组基。

（b）V的任意两个基都有相同数量的元素。V的一组基中的元素数称为V的维数。（最小线性无关组）

（c）设 v1,…, vn 是 V 的一个基，设 w1,…, wn 是 V 中的另一组 n 个向量，把每个 wj 写成 vi 的线性组合（v中所有向量都可以用基来表示）
$$\begin{gathered} w_1=a_{11}{v}_1+a_{12}{v}_2+...+a_{1n}{v}_n, \\ {w}_2=a_{21}{v}_1+a_{22}{v}_2+...+a_{2n}{v}_n, \\ ...... \\ {w}_n=a_{n1}{v}_1+a_{n2}{v}_2+...+a_{nn}{v}_n, \end{gathered}$$
​ 然后w1，…，wn也是V的一组基当且仅当矩阵的行列式不等于0。
$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right)$$
​ 接下来，我们将解释如何测量 $R^n$ 中向量的长度以及向量对之间的夹角。这些重要的概念与点积和欧几里得规范的概念息息相关。

​ 定义。 设 v,w∈V ⊂ $R^m$​，并将 v 和 w 用坐标写成
$$v=(x_1,x_2,...,x_m)andw=(y_1,y_2,...,y_m)$$
​ v 和 w 的点积为
$$v\cdot w=x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_m{y}_m$$
​ 如果$v\cdot w=0$，我们就说 v 和 w 互为正交。

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​ v 的长度或欧几里得范数是指：
$$\parallel v\parallel =\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}$$
​ 注意点积和范数是由公式联系起来的
$$v\cdot v=\parallel v{\parallel }^2$$
​ 命题7.12。 设$v,w\in V\subset R^m$。

​ (a) 设 θ 为向量 v 和 w 之间的夹角，我们将 v 和 w 的起点置于原点 0，则:
$$v\cdot w=\parallel v\parallel \parallel w\parallel cos(\theta )(7.6)$$
​ (b) (柯西-施瓦茨不等式):
$$|v\cdot w|\le \parallel v\parallel \parallel w\parallel$$
​ 证明。 关于 (a)，请参见任何标准线性代数教科书。我们注意到 Cauchy-Schwarz 不等式 (b) 是由 (a) 直接推出的，但我们认为它的重要性足以保证直接证明。如果 w = 0，则无须证明，我们可以假设 w = 0。我们考虑函数
$$\begin{gathered} f(t)=\parallel v-tw{\parallel }^2=(v-tw)\cdot (v-tw) \\ =v\cdot v-2tv\cdot w+t^{2}w\cdot w \\ =\parallel v{\parallel }^2-2tv\cdot w+t^2\parallel w{\parallel }^2 \end{gathered}$$
​ 我们知道，对于所有t∈R, f(t)≥0，因此我们选择使f(t)最小的t值，看看它给出了什么。这个最小值是$t=v\cdot w/\parallel w{\parallel }^2$​。因此
$$0\le f\left(\frac{v\cdot w}{\parallel w{\parallel }^2}\right)=\parallel v{\parallel }^2-\frac{(v\cdot w{)}^2}{\parallel w{\parallel }^2}$$
​ 对这个表达式进行简化并取平方根，就得到了想要的结果。（这一步通过化简$\parallel v{\parallel }^2-2tv\cdot w+t^2\parallel w{\parallel }^2$成函数$f(x)=(x-b{)}^2$的形式，由于函数图像开口朝上，所以b是最低点）

​ 定义。 向量空间 V 的正交基是基 v1，…，vn，其性质是
$$v_i\cdot v_j=0对于所有的i\ne j$$
​ 翻译：对于向量空间 V 里的所有基$v_1,...,v_n$，两两之间都存在关系：

$$v_i\cdot v_j=0对于所有的i\ne j$$，则说是正交基

​如果对于所有的$i,\parallel v_i\parallel =1$​，则说这个基是标准正交的，

​ 使用正交或标准正交基，有许多公式会变得简单得多。特别地，如果v1，…， vn是一个正交基，同时，如果v = a1v1 +···+ anvn是基向量的线性组合，则
$$\begin{gathered} \parallel v{\parallel }^2=\parallel a_1{v}_1+...+a_n{v}_n{\parallel }^2 \\ =(a_1{v}_1+...+a_n{v}_n)\cdot (a_1{v}_1+...+a_n{v}_n) \\ =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{a}_j(v_i\cdot v_j) \\ =\sum _{i=1}^n{a}_i^2\parallel v_i{\parallel }^2因为当i\ne j时，v_i\cdot v_j \end{gathered}$$
​ 如果基是标准正交的，那么这个进一步化简为$\parallel v{\parallel }^2=\sum a_i^2$。

​ 有一种创建正交基础的标准方法，称为格拉姆-施密特算法（Gram-Schmidt algorithm）。我们将介绍通常算法的一个变种，它能得到一个正交基础，因为这个变种与我们后面的应用最为相关。

​ 定理7.13 (Gram-Schmidt算法)。设v1，…， vn是向量空间V⊂Rm的一组基。下面的算法为 V 创建了一个正交基$v_1^{\ast },...,v_n^{\ast }$​：

​ 这两个基的特性是：扩张空间(span)
S p a n { v 1 , . . . , v i } = S p a n { v 1 ∗ , . . . , v i ∗ } 对于所有的 i = 1 , 2 , . . . , n Span\{v_{1},...,v_{i}\}=Span\{v_{1}^{*},...,v_{i}^{*}\} \uad 对于所有的i=1,2,...,n Span{ v1​,...,vi​}=Span{ v1∗​,...,vi∗​}对于所有的i=1,2,...,n
​ 证明。正交性的证明采用归纳法，因此我们假设向量 $v_1^{\ast },...,v_{i-1}^{\ast }$ 是成对正交的，我们需要证明 $v_i^{\ast }$​ 与前面所有的有星号的向量是正交的。为此，我们取任意 k< i 并计算

​为了证明关于跨度的最后陈述，我们首先注意到，根据 $v_i^{\ast }$ 的定义，vi 显然在 $v_1^{\ast },...,v_i^{\ast }$ 的跨度中。我们通过归纳法证明其他包含，因此我们假设 $v_1^{\ast },...,v_{i-1}^{\ast }$ 在 $v_1,...,v_{i-1}$ 的跨度中，我们需要证明$v_i^{\ast }$ 在 $v_1,...,v_{i-1}$ 的跨度中。 但根据 $v_i^{\ast }$ 的定义，我们可以看到它在 $v_1^{\ast },...,v_{i-1}^{\ast },v_i$​ 的跨中，因此我们可以通过归纳假设来证明。