2025年正态分布及其概率计算

科技前沿 • 2025-04-04 10:20 • 阅读 35

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上一篇讲了三个典型的离散分布（离散分布概率：几何分布、二项分布和泊松分布https://blog.csdn.net/weixin_/article/details/），这篇开始进入连续型概率分布，最常用的“正态分布”。

离散型概率分布：几何分布、二项分布、泊松分布都是离散型概率分布，一般是求事件出现次数的概率，次数是整数，其取值不是连续的。

连续性概率分布：但生活中，还有一类事件，如每个人的身高，其值是连续的，描述这种事件的概率分布就是连续性概率分布，正态分布是最基本是连续型概率分布。

和离散型概率分布不同，连续型概率分布很难说一个确切值的概率（实际上=0），往往是求某一个数值范围的概率，概率值就是概率密度函数在某个数值范围内下方的面积。

概率密度函数下方的总面积必须等于1.

正态英文为Normal，就是常见的、典型的意思，在现实生活中，测量值之类的大量连续数据，会期望看到这种形状。

正态分布具有钟形曲线，中间概率密度大，两边概率密度小。形状通过参数μ和σ确定。一个连续随机变量符合均值为μ，标准差为σ的正态分布，记作： X~N(μ，σ^2),

性质如下：

1）确定分布与范围：如果遇到的问题适用于正态分布，则看看能否求出均值和标准差，只有先得知这些信息，才能求出概率，还需要弄清楚要求的是哪一部分的面积。

2）使用标准分算法，Z=(X-μ)/σ将欲求的概率分布范围转化为标准正态分布N~(0,1)范围

3）一旦转化为标准正态分布，就可以利用概率表查找概率

问题举例：

已知男生身高X符合正态分布N(71,20.25), 求男生身高大于64英寸的概率。

1）对正态分布X~N(71,20.25)，求P(X>64)

2) 转化为标准分

Z=(X-μ)/σ=（64-71）/20.25^0.5=-1.56, P(X>64)=P(Z>-1.56)

3) 查概率表，可得P(Z<-1.56)=0.0594

则P(X>64)=P(Z>-1.56)=1-P(Z<-1.56)=1-0.0594=0.9406

标准正态分布概率表能查的是P(Z<a)的概率值，如果要求P(Z>a)或者P(a<Z<b)，则可以利用以下办法：

P(Z>a)=1-P(Z<a)

P(a<Z<b)=P(Z<b)-P(Z<a)

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