目的
对于给定装药，燃面面积随肉厚的变化 A b ( e ) {A_{\rm{b}}}\left( e \right) Ab(e)是已知的，需要根据该曲线计算得到燃烧室压力随时间的变化关系 p c ( t ) {p_{\rm{c}}}\left( t \right) pc(t)
连续方程
1 装药燃烧产气的流量
m ˙ 1 = ρ p A b r = a ρ p A b p c n {\dot m_1} = {\rho _{\rm{p}}}{A_{\rm{b}}}r = a{\rho _{\rm{p}}}{A_{\rm{b}}}p_{\rm{c}}^{\rm{n}} m˙1=ρpAbr=aρpAbpcn这里 ρ p {\rho _{\rm{p}}} ρp是装药的密度， r r r是线燃速，可用 a p c n ap_{\rm{c}}^{\rm{n}} apcn经验公式计算
2 喷管流出燃气的流量
m ˙ 2 = p c A t c ∗ {\dot m_2} = { { {p_{\rm{c}}}{A_{\rm{t}}}} \over { {c^*}}} m˙2=c∗pcAt式中 c ∗ { {c^*}} c∗是推进剂的特征速度， A t { {A_{\rm{t}}}} At是喷管的喉部面积，需要注意的是，该公式的使用前提是喷管处于最大流量状态（喉部音速），所以对发动机启动过程和关机可能不适用
3 燃烧室内积存的燃气流量
m ˙ 3 = d ( ρ g V f ) d t {\dot m_3} = {
{
{\rm{d}}\left( {
{\rho _{\rm{g}}}{V_{\rm{f}}}} \right)} \over {
{\rm{d}}t}} m˙3=dtd(ρgVf)式中 V f {
{V_{\rm{f}}}} Vf是燃烧室空腔的容积， ρ g {
{\rho _{\rm{g}}}} ρg是燃烧室中燃气的密度，假设燃气温度和分子量不变，将完全气体状态方程带入，有
m ˙ 3 = 1 R T d ( p c V f ) d t = 1 ( c ∗ Γ ) 2 d ( p c V f ) d t {\dot m_3} = {1 \over {RT}}{
{
{\rm{d}}\left( {
{p_{\rm{c}}}{V_{\rm{f}}}} \right)} \over {
{\rm{d}}t}} = {1 \over {
{
{\left( {
{c^*}\Gamma } \right)}^2}}}{
{
{\rm{d}}\left( {
{p_{\rm{c}}}{V_{\rm{f}}}} \right)} \over {
{\rm{d}}t}} m˙3=RT1dtd(pcVf)=(c∗Γ)21dtd(pcVf)式中 R R R是完全气体常数， T T T是燃气温度。为了避免直接计算燃气温度（需要化学平衡计算，不便于使用），故引进了 Γ \Gamma Γ函数，使用 ( c ∗ Γ ) 2 {
{
{\left( {
{c^*}\Gamma } \right)}^2}} (c∗Γ)2替换 R T {RT} RT，可以证明二者是相等的
Γ = γ ( 2 γ + 1 ) γ + 1 2 ( γ − 1 ) \Gamma = \sqrt \gamma {\left( {
{2 \over {\gamma + 1}}} \right)^{
{
{\gamma + 1} \over {2\left( {\gamma - 1} \right)}}}} Γ=γ(γ+12)2(γ−1)γ+1式中 γ \gamma γ是比热比，可以简单地取为1.2
所以使用乘积的求导公式，有
m ˙ 3 = 1 ( c ∗ Γ ) 2 d ( p c V f ) d t = 1 ( c ∗ Γ ) 2 ( p c d V f d t + V f d p c d t ) {\dot m_3} = {1 \over {
{
{\left( {
{c^*}\Gamma } \right)}^2}}}{
{
{\rm{d}}\left( {
{p_{\rm{c}}}{V_{\rm{f}}}} \right)} \over {
{\rm{d}}t}} = {1 \over {
{
{\left( {
{c^*}\Gamma } \right)}^2}}}\left( {
{p_{\rm{c}}}{
{
{\rm{d}}{V_{\rm{f}}}} \over {
{\rm{d}}t}} + {V_{\rm{f}}}{
{
{\rm{d}}{p_{\rm{c}}}} \over {
{\rm{d}}t}}} \right) m˙3=(c∗Γ)21dtd(pcVf)=(c∗Γ)21(pcdtdVf+Vfdtdpc)
4 流量平衡
m ˙ 1 = m ˙ 2 + m ˙ 3 {
{\dot m}_1} = {
{\dot m}_2} + {
{\dot m}_3} m˙1=m˙2+m˙3故有
a ρ p A b p c n = p c A t c ∗ + 1 ( c ∗ Γ ) 2 ( p c d V f d t + V f d p c d t ) (1) a{\rho _{\rm{p}}}{A_{\rm{b}}}p_{\rm{c}}^{\rm{n}} = {
{
{p_{\rm{c}}}{A_{\rm{t}}}} \over {
{c^*}}} + {1 \over {
{
{\left( {
{c^*}\Gamma } \right)}^2}}}\left( {
{p_{\rm{c}}}{
{
{\rm{d}}{V_{\rm{f}}}} \over {
{\rm{d}}t}} + {V_{\rm{f}}}{
{
{\rm{d}}{p_{\rm{c}}}} \over {
{\rm{d}}t}}} \right) \tag{1} aρpAbpcn=c∗pcAt+(c∗Γ)21(pcdtdVf+Vfdtdpc)(1)
燃面推移方程
燃烧会导致燃面推移，有
d e d t = a p c n (2) {
{
{\rm{d}}e} \over {
{\rm{d}}t}} = ap_{\rm{c}}^{\rm{n}} \tag{2} dtde=apcn(2)燃烧还会导致燃烧室空腔的容积扩大，有
d V f d e = A b {
{
{\rm{d}}{V_{\rm{f}}}} \over {
{\rm{d}}e}} = {A_{\rm{b}}} dedVf=Ab结合这两式，不难得到
d V f d t = A b a p c n (3) {
{
{\rm{d}}{V_{\rm{f}}}} \over {
{\rm{d}}t}} = {A_{\rm{b}}}ap_{\rm{c}}^{\rm{n}} \tag{3} dtdVf=Abapcn(3)
最终的微分方程组
将式 ( 3 ) (3) (3)代入 ( 1 ) (1) (1)可以化简为
a ρ p A b p c n = p c A t c ∗ + 1 ( c ∗ Γ ) 2 ( A b a p c n + 1 + V f d p c d t ) (4) a{\rho _{\rm{p}}}{A_{\rm{b}}}p_{\rm{c}}^{\rm{n}} = {
{
{p_{\rm{c}}}{A_{\rm{t}}}} \over {
{c^*}}} + {1 \over {
{
{\left( {
{c^*}\Gamma } \right)}^2}}}\left( {
{A_{\rm{b}}}ap_{\rm{c}}^{
{\rm{n + 1}}} + {V_{\rm{f}}}{
{
{\rm{d}}{p_{\rm{c}}}} \over {
{\rm{d}}t}}} \right) \tag{4} aρpAbpcn=c∗pcAt+(c∗Γ)21(Abapcn+1+Vfdtdpc)(4)将式 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) (2)(3)(4) (2)(3)(4)整理后，写在一起即可得到最终的微分方程组
d p c d t = ( c ∗ Γ ) 2 V f ( a ρ p A b p c n − p c A t c ∗ ) − A b a p c n + 1 V f {
{
{
{\rm{d}}{p_{\rm{c}}}} \over {
{\rm{d}}t}} = {
{
{
{\left( {
{c^*}\Gamma } \right)}^2}} \over {
{V_{\rm{f}}}}}\left( {a{\rho _{\rm{p}}}{A_{\rm{b}}}p_{\rm{c}}^{\rm{n}} - {
{
{p_{\rm{c}}}{A_{\rm{t}}}} \over {
{c^*}}}} \right) - {
{
{A_{\rm{b}}}ap_{\rm{c}}^{
{\rm{n + 1}}}} \over {
{V_{\rm{f}}}}}} dtdpc=Vf(c∗Γ)2(aρpAbpcn−c∗pcAt)−VfAbapcn+1 d V f d t = A b a p c n {
{
{
{\rm{d}}{V_{\rm{f}}}} \over {
{\rm{d}}t}} = {A_{\rm{b}}}ap_{\rm{c}}^{\rm{n}}} dtdVf=Abapcn d e d t = a p c n {
{
{
{\rm{d}}e} \over {
{\rm{d}}t}} = ap_{\rm{c}}^{\rm{n}}} dtde=apcn给定初始条件后，即可使用数值计算方法求解
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