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导数的应用

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导数的应用1 线性近似 linear approximatio 主要用途 它能简化函数 一个合理的近似常可以帮助解决问题 在工程学中 线性近似应用非常广泛 人们只需要关心输入改变量与输出改变量之间的线性关系 证明 因为导数的定义为

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1. 线性近似（linear approximations）

f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)
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主要用途：它能简化函数，一个合理的近似常可以帮助解决问题

在工程学中，线性近似应用非常广泛，人们只需要关心输入改变量与输出改变量之间的线性关系

证明：

因为导数的定义为：

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{x+\Delta x - x} \end{align*}

所以x0处的导数为：

f'(x_0)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{x_0 + \Delta x - x_0}

set \quad x = x_0 + \Delta x

f'(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

用割线斜率近似切线斜率：

f'(x_0) \approx \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)

 

假设有一条曲线 y = f(x)，那么它在切点处近似于其切线

2. 二阶近似（quadratic approximation）

相比于线性近似，二阶近似更精确一点

f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f''(x_0) \frac{(x-x_0)^2}{2}

二阶近似只有在线性近似精确度不够时才会用到

泰勒级数？

3. 曲线画图

曲线画图：利用一阶、二阶导数画图

步骤：

1. 标记点（标记不连续的点，无限远端的点，容易求出的点）

2. 求出导数为0的点（驻点）

3. 判断 f' 的正负

4. 判断 f'' 的正负

f' > 0 \Rightarrow f \; is \; increasing \uad f' < 0 \Rightarrow f \; is \; decreasing

f'' > 0 \Rightarrow f \; is \; concave \; up \uad f'' < 0 \Rightarrow f \; is \; concave \; down

concave up -- 凸函数（开口向上，以天花板作为标志物来看凸凹），concave down -- 凹函数（开口向下）

极值点：turning point or extremum point，直译为转折点

驻点：critical point，当 f'(x0) = 0 时，我们称 x0 为驻点，f(x0)为驻点值，注意：驻点不一定是极值点，极值点一定是驻点

拐点：f'' 等于 0 的点，拐点两边凸凹函数发生改变

目前，基本上都是使用计算机作图，但无限远端问题，计算机暂时无法搞定，因为计算机屏幕不能无限大

例子

f(x) = 3x - x^3

f'(x) = 3 - 3x^2 = 3(1+x)(1-x)

f''(x) = -6x

因此

（-1，-2）、（1，2）为驻点；x < 0 时，f'' > 0，为凸函数（开口向上）；x > 0 时， f'' < 0，为凹函数（开口向下）；（0，0）点为拐点，在该点凸凹函数发生变化

4. 最值问题

最大值、最小值，生理上可以很容易地从图像上找出来；数理上的步骤是，1. 求出驻点 2. 求出不连续点 3. 比较驻点和不连续点，得出最大值和最小值

举例，容积固定的情况下，使表面积最小：

V=x^2y

A=x^2+4xy= x^2 + \frac{4V}{x}

A'=2x-\frac{4V}{x^2}

因此，驻点、最小面积、y为：

x_0 = 2^{\frac{1}{3}} V^{\frac{1}{3}}

A_{min} = (2^{\frac{1}{3}} V^{\frac{1}{3}})^2 + \frac{4V}{2^{\frac{1}{3}} V^{\frac{1}{3}}} = 3 \times 2^{\frac{2}{3}} V^{\frac{2}{3}}

y = \frac{V}{x^2} = 2^{-\frac{2}{3}}V^{\frac{1}{3}}

更有意义的描述为：

\frac{x_0}{y} = 2

\frac{A}{V^{\frac{2}{3}}} = 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

即：底部正方形的宽是高的两倍时，表面积最小；表面积最小时，表面积与体积比为某个常数

5. 相关变率

Related rates: 通常在相关变率问题中，会使用隐函数微分法

6. 牛顿迭代法

Newton's method 是微积分中最伟大的应用之一，它可以求解任何方程的根。

x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

下图为 y = x^2 - 5 函数使用牛顿法求根（根号5）的过程：

推导过程：

假设函数 f(x) 的根为 r，无法求出 r 的解析解，但可以通过牛顿法求出 r 的数值解

1. 假设 x0 为 r 的初始近似值

x0 点处的切线为：

\frac{y-y_0}{x-x_0} = m_{x_0}

y = m_{x_0} (x-x_0) + y_0

切线与 x 轴的交点 x1 为：

0 = m_{x_0} (x_1 - x_0) + y_0

x_1 = x_0 - \frac{y_0}{m_{x_0}} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}

此时称 x1 为 r 的一次近似值

2. 重复以上过程，可以求出 r 的 n+1 次近似值。一般情况下，3次近似值就已经很接近 r 了。

 

误差分析：error analysis

E_1 = \left | x - x_1 \right |

使用牛顿法时，需要满足的条件：

1. |f'| 不能太小（一阶导数的模不能太小），|f''| 不能太大（二阶导数的模不能太大）

2. x0 要选在 x 的附近

7. 中值定理

中值定理 mean value theorem: 中值就是平均值，平均变化率在最大变化率与最小变化率之间

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) \uad a < c < b \uad \text{min } F' < f'(c) < \text{max } F'

其中，c 在定义域内是不确定的，只知道 a < c < b，也就是说不知道 c 究竟是哪一点，它比较笼统和简单

用处：中值定理可以证明 f‘ > 0 时函数递增等的结论

中值定理与线性近似的对比：

\begin{cases} \frac{\Delta f}{\Delta x} = f'(c) & \text{ mean value theorem } \\ \frac{\Delta f}{\Delta x} \approx f'(a) & \text{ linear approximation } \end{cases}

线性近似时，Δx 要趋于0，中值定理不用；中值定理是个平均的概念，线性近似是个极限的概念。

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