1.命题与命题联结词
1.命题与命题的表示
1. 命题
由一个或几个已知的前提，推导出来一个未知的结论的思维过程称为推理，推理的基本要素就是表达这些前提的一些陈述句，可以将这些陈述句理解为命题。
（1）地球是行星 （2）8不是素数 （3）1 + 2 = 2 讯享网
2. 命题真值
一个陈述句不可能既成立又不成立（唯一的真值），成立或不成立可以看作是这个陈述句的一个属性，这个属性称之为真值。
3. 命题的判定
1. 语句本身是一个陈述句。
2. 它有唯一的真值。
讯享网（1）地球是行星 真命题 （2）8不是素数 真命题 （3）1 + 2 = 2 假命题 （4）x + 1 = 2 不是命题（因为该命题可真可假） （5）离散数学难学吗？ 不是命题（因为不是一个陈述句）
4. 命题真值的表示
1.命题如果为真，则可以使用 T 或 1来表示
2.命题如果为假，则可以使用 F 或 0来表示
5. 命题符号化
在数理逻辑中，常常使用符号来表示一个命题，就好像程序中使用标识符表示变量一样，用符号来表示命题的这个过程称为命题的符号化。表示命题的符号既可以是大写的英文字母，也可以是小写的英文字母，例如：P 或 p，有时还可以使用字母加数字来表示，为了清楚起见，数字长表示为下标，例如：P₁ 或 Q₂ 或 R₃。
（1）π 是有理数 （2）6 是一个合数 使用P、Q、R...英文字母来对上述 命题符号化 （1）P：π 是有理数 （2）Q：6 是一个合数 命题真值： P：F Q：T 6. 命题变元
命题的符号称为命题标识符。当命题标识符表示某个确定的命题时，称为命题常量或命题常项，如果命题标识符只表示命题的位置，称之为命题变元或命题变项。命题变元可以表示任意一个命题，即在确定他代表的命题之前，命题变元不具有确定的真值，所以命题变元不是命题。
- 命题常量
讯享网P：小明今天没来上学 P 指代了一个具体的命题："小明今天没来上学"，所以他的真值是确定的。
- 命题变元
Q Q 只是一个大写的应为字母，我们根本不知道他代表什么含义，所以他可以代表任意命题或其他 7. 命题变元指派
当使用一个具体的命题去代替命题变元时，他的真值也就确定下来了，这称为对命题变元的指派。
- 指派：由于Q是一个命题变元，所以我们可以给其指派任意的命题，来使其成为一个有确定真值的命题。
讯享网Q：今天是雨天
Q：我今天上班时摸鱼了 2.复合命题与联结词
1.复合命题
在上一段中我们所列举的命题示例中，都是不能再分解的命题。这样的命题称为原子命题或简单命题。实际中我们常常想要表达更丰富的信息，例如：如果今年有假期，我将去欧洲旅游，这个句子中表达了两层含义，一是：今年有假期，二是：我去欧洲旅游，而且这两个含义之间还是有关联的，前一个是前提，后一个是结果。
在自然语言中，我们常常使用连词来表示两个句子之间的关系，例如本例中的如果。在命题符号化时，这样的连词将表示为联结词，联结词都具有特定的符号。
由原子命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题 = 原子命题 + 联结词 + 原子命题。
2.联结词
一般而言，自然语言都具有二义性，即有些句子的含义多于一种。在数理逻辑中，为了能够精确地进行推导，命题及联结词的含义必须是确定的。
数理逻辑中常用的联结词共有如下5个：
- 否定：﹁（! 取反）
| P | ﹁P |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
- 合取：∧（and 短路与）
可以理解为协同工作，两个对象都没有问题，才能完成一项工作
既…又…
不但…而且…
虽然…但是…
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
- 析取：∨（or 短路或）
可以理解为方案或计划，两种方案或计划，只要有一个可行，该项目就可以顺利完成
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
- 条件：→
可以理解修手机：A有一部手机
1.假设手机是好的，拿去找B维修
①B严格按照维修流程进行，维修完成后，交给A，手机正常开机使用，没有问题，最终结果是成功的；
②B在维修过程中，发生了失误，导致手机无法开机，最终结果是失败的；
2.假设手机是坏的，拿去找B维修
①B严格按照维修流程进行，维修完成后，交给A，手机正常开机使用，没有问题，最终结果是成功的；
②B在维修过程中，发现该手机的配件在市面上已经找不到了，无法对其进行修复，最终结果也是成功的；经过上述分析发现，只有把完好的东西搞坏时，最终整个过程是失败的
如果…那么…
若…则…
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
- 双条件：↔
可以理解为共同语言：当你们阶层一样时，才会聊到一起当且仅当
| P | Q | P ↔ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
3.复合命题符号化
讯享网（1）给出今天是星期五的否定 设：P：今天是星期五 ﹁P：今天不是星期五 （2）今天的离散数学课停上，美元上涨（虽然但是） 设：P：今天离散数学停上 Q：美元上涨 P ∧ Q （3）我今天不但听了离散数学课，还听了数据结构课 设：P：今天听了离散数学 Q：今天听了数据结构 P ∧ Q （4）2既是偶数，也是素数 设：P：2是偶数 Q：2是素数 P ∧ Q 相容或：可以同时做到，不冲突 相斥或：做到前者，就不可能做到后者；做到后者，就不可能做到前者。这样的或称之为《异或》， 不能简单的使用析取来表示 （5）王小林是本年度校运动会的跳高或100米短跑的冠军（相容或） 设：P：王小林是跳高冠军 Q：王小林是100米短跑冠军 P ∨ Q （6）我今去听离散数学课，或者去听数据结构课（相容或） 设：P：今天去听离散数学 Q：今天去听数据结构 P ∨ Q （7）小王今年22岁或者23岁（相斥或） 设：P：小王今年22岁 Q：小王今年23岁 (﹁P ∨ Q) ∧ (P ∨ ﹁Q) （8）如果今天不下雨，我就去公园锻炼 设 P：今天下雨，Q：去公园锻炼 ﹁P → Q （9）如果我考试通过，就能拿到合格证书 设 P：考试通过 Q：拿到合格证书 P → Q （10）当且仅当实数R可以表示为分数时，R是有理数； 设 P：实数R可以表示为分数 Q：实数R是有理数 P ↔ Q （11）√3是无理数，当且仅当加拿大位于亚洲。 设 P：√3是无理数（T） Q：加拿大位于亚洲（F） P ↔ Q 真值：F
2.命题公式的等值演算
1.命题公式（是一个符号串）
在表示数学操做时，我们可以使用操作符将操作数连接起来，得到一个数学表达式，同时可以使用圆括号改变操作符的运算顺序，例如：2 * (x + 3)。
在命题中也是如此，将命题用联结词和圆括号按一定的逻辑连接起来的符号串称为合式公式，也就是命题公式，命题公式常用英文大写字母：A，B，C，…来指代。
1.命题公式定义如下
（1）单个命题变元和命题常项是合式公式，并成为原子命题
命题变元：P 命题常项：Q：2 + 3 = 5 （2）若A是合式公式，则（﹁A）是合式公式
（3）若A、B是合式公式，则（A ∧ B）、（A ∨ B）、（A → B）、（A ↔ B）是合式公式
（4）有限次的应用（1）~（3）形成的符号串是合式公式
- 命题公式
讯享网﹁Q (P ∧ Q) (P ∧ Q) ∨ (﹁P ∧ ﹁Q)
- 非命题公式示例
(P ∧ ∨ Q) P ∧ → Q → Q 2.命题公式约定
（1）合式公式最外层的括号可以省略
（2）不影响运算次序的括号也可以省略
（3）联结词的优先次序为：﹁ ∧ ∨ → ↔。
3.命题公式子公式
设 Ai 是公式 A 的一部分，且 Ai 是一个合式公式，称 Ai 是 A 的子公式，或公式分量。
讯享网公式A：(P ∧ Q) ↔ (R → (﹁P ∧ Q)) 子公式如下： A1：P A2：Q A3：R A4：﹁P A5：P ∧ Q A6：﹁P ∧ Q A7：R → (﹁P ∧ Q)
4.命题公式的变元指派
设A为一个命题公式，P₁，P₂，P₃，…，Pn 为出现在A中的命题变元，对P₁，P₂，P₃，…，Pn各指定一个真值，称为对A的一种指派或赋值。
- 成真指派
若指定的一种指派使得A的真值为真，则称这组值为A的成真指派。 - 成假指派
若指定的一种指派使得A的真值为假，则称这组值为A的成假指派。
仅当一个公式中，所有的命题变元都被指派了具体的命题时，公式才有确定的真值。
5.真值表
将命题公式的所有指派取值以表格形式展示出来，称为命题的真值表。
★ 含有n个命题变元的命题公式，共有 2n 组指派。
- 示例1：构造 P → (Q → R) 的真值表
- 由命题公式可以看出有3个命题变元，则应该有8组指派
- 由真值表可以看出该命题公式成假赋值只有一个：TTF
| P | Q | R | Q → R | P → (Q → R) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | F |
| T | F | T | T | T |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T |
| F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T |
| F | F | F | T | T |
- 示例2：构造 (P ∧ Q) → R 的真值表
| P | Q | R | P ∧ Q | (P ∧ Q) → R |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F |
| T | F | T | F | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | T |
| F | T | F | F | T |
| F | F | T | F | T |
| F | F | F | F | T |
6.命题公式等值
从上面两个示例可以得出一个结论：如果对于两个不同的的命题公式，给其一组任意的指派，两个命题公式的真值都是相同的，那么称两个公式是等值或等价的，记为：A ⇔ B。
如果两个命题公式不等价则记为：A ‹≠› B。
7.命题公式分类
1.永真式（重言式）
设A为一个命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称公式A为永真式或重言式。
| P | Q | P ∧ Q | ﹁(P ∧ Q) | ﹁P | ﹁Q | ﹁P ∨ ﹁Q | ﹁(P ∧ Q) ↔ (﹁P ∨ ﹁Q) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | F | T |
| T | F | F | T | F | T | T | T |
| F | T | F | T | T | F | T | T |
| F | F | F | T | T | T | T | T |
2.永假式（矛盾式）
设A为一个命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称公式A为永假式或矛盾式。
| P | Q | P → Q | ﹁(P → Q) | ﹁(P → Q) ∧ Q |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | F | F |
3.可满足式
设A为一个命题公式，若A在它的各种指派情况下，其至少存在一组成真指派，则称公式A为非重言式的可满足式。
重言式也是肯满足式的一种
| P | Q | R | P → Q | ﹁(P → Q) | ﹁(P → Q) ∧ Q | ﹁(P → Q) ∧ Q ∨ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | F | F | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | F | T | T | F | F | T |
| T | F | F | T | F | F | F |
| F | T | T | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F | F |
| F | F | T | T | F | F | T |
| F | F | F | T | F | F | F |
2.等值演算与蕴涵式
1.常用命题定律（重点）
| 定律 | 公式 |
|---|---|
| 双重否定律 | ﹁﹁A ⇔ A |
| 幂等律 | A ∧ A ⇔ A A ∨ A ⇔ A |
| 结合律 | (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) |
| 交换律 | A ∧ B ⇔ B ∧ A A ∨ B ⇔ B ∨ A |
| 分配律 | A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) |
| 吸收律 | A ∨ (A ∧ B) ⇔ A A ∧ (A ∨ B) ⇔ A |
| 德摩根律 | ﹁(A ∨ B) ⇔ ﹁A ∧ ﹁B ﹁(A ∧ B) ⇔ ﹁A ∨ ﹁B |
| 同一律 | A ∧ T ⇔ A A ∨ F ⇔ A |
| 零律 | A ∧ F ⇔ F A ∨ T ⇔ T |
| 排中律 | A ∨ ﹁A ⇔ T |
| 否定律 | A ∧ ﹁A ⇔ F |
| 蕴涵等值式 | A → B ⇔ ﹁A ∨ B |
| 等价等值式 | A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A) |
| 假言易位 | A → B ⇔ ﹁B → ﹁A |
| 等价否定等值式 | A ↔ B ⇔ ﹁A ↔ ﹁B |
| 归谬论 | (A → B) ∧ (A → ﹁B) ⇔ ﹁A |
2.判断命题公式等价方法
1.真值表法：P ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ ﹁Q)
| P | Q | ﹁Q | P ∧ ﹁Q | P ∧ Q | (P ∧ Q) ∨ (P ∧ ﹁Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T |
| T | F | T | T | F | T |
| F | T | F | F | F | F |
| F | F | T | F | F | F |
- 由真值表可以看出P和(P ∧ Q) ∨ (P ∧ ﹁Q)两个命题公式在任意指派下，其真值都是一样的，所以可以判定两个命题公式是等值的。
2.利用命题定律进行等值演算：P ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ ﹁Q)
证明: 右 = P ∧ (Q ∨ ﹁Q) 分配律 ⇔ P ∧ T 排中律 ⇔ P = 左 同一律 3.蕴涵式
1.定义
当且仅当 P → Q 是一个永真式时，我们称P蕴涵Q，并记作P ⇨ Q，称作蕴涵式或永真条件式。
2.性质
蕴涵式有以下性质：
1. 对任意公式A，有A ⇨ A；
2.对任意公式A、B和C，若A ⇨ B，B ⇨ C，则有A ⇨ C；
3.对任意公式A、B和C，若A ⇨ B，A ⇨ C，则有A ⇨ (B ∧ C)；
4.对任意公式A、B和C，若A ⇨ C，B ⇨ C，则有(A ∨ B) ⇨ C；
3.证明
- 1：A ⇨ A
讯享网根据蕴涵式定义，A ⇨ A，则有A → A 设命题公式A：A → A ⇔﹁A ∨ A 蕴涵等值式 ⇔T 排中律
- 2：若A ⇨ B，B ⇨ C，则有A ⇨ C
设：A ⇨ B，B ⇨ C 成立，则 A → B，B → C 均为重言式 (1) 如果 A → B 为重言式，则B只能为T (2) 如果 B → C 为重言式，则C只能为T (3) 已知 C 的值为 T 如果 A 为 F ，A → C 的值为 T 如果 A 为 T ， A → C 的值也为 T (4) 综上，因为 A → C 为重言式，所以 A ⇨ C 成立 | A | B | C | A→B | B→C | (A→B) ∧ (B→C) | A→C |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | F | T | F | T | F | T |
| T | F | F | F | T | F | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | F | F | T | T | T | T |
从真值表中也可以看出，当且仅当
A–>B ∧ B–>C为永真式时，A–>C才为永真式。
也就是表格中标红的行。
所以若A ⇨ B，B ⇨ C，则有A ⇨ C
- 3.若A ⇨ B，A ⇨ C，则有A ⇨ (B ∧ C)；
讯享网 (﹁A ∨ B) ∧ (﹁A ∨ C) ⇔﹁A ∨ (B ∧ C) 分配律 ⇔A → (B ∧ C) 蕴涵等值式
| A | B | C | A→B | A→C | (A→B) ∧ (A→C) | B ^ C | A→(B ^ C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F | F |
| T | F | T | F | T | F | F | F |
| T | F | F | F | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | F | T |
| F | F | T | T | T | T | F | T |
| F | F | F | T | T | T | F | T |
从真值表中也可以看出，当且仅当
(A –> B) ∧ (A –> C)为永真式时，A –> (B ∧ C)才为永真式。
也就是表格中标红的行。
所以若A ⇨ B，A ⇨ C，则有A ⇨ (B ∧ C)
- 4.若A ⇨ C，B ⇨ C，则有(A ∨ B) ⇨ C；
(A → C) ∧ (B → C) ⇔(﹁A ∨ C ) ∧ (﹁B ∨ C) 蕴涵等值式 ⇔C ∨ ( ﹁A ∧ ﹁B ) 分配律 ⇔﹁(A ∨ B) ∨ C 德摩根律 ⇔(A ∨ B) → C 蕴涵等值式 | A | B | C | A→C | B→C | (A→C) ∧ (B→C) | A ∨ B | (A ∨ B) → C |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | F | F | T | F |
| T | F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F | T |
| F | F | T | T | T | T | F | T |
| F | F | F | T | T | T | F | T |
从真值表中也可以看出，当且仅当
(A –> C) ∧ (B –> C)为永真式时，(A ∨ B) –> C才为永真式。
也就是表格中标红的行。
所以若A ⇨ C，B ⇨ C，则有(A ∨ B) ⇨ C；
3.联结词完备集
1.定义
设S是一个联结词集合，如果任何n(n>=1)元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集。
2.表现形式
根据定义可知，这五个联结词：﹁ ∧ ∨ → ↔，作用于原子命题后可以构成各种命题，所以联结词集：{﹁, ∧, ∨, →, ↔}是完备集。
有些联结词可以转换为其他的联结词，对同一个命题公式可以通过等值公式的转换，以不同形式表示出来。
1.可以把包含：↔的公式等价变换为包含∧，→的公式。
2.可以把包含：→的公式等价变换为包含﹁，∨的公式。
经过转换后的联结词只剩下：{﹁, ∧, ∨}，所以他们也是联结词完备集。
由德摩根律：﹁(A ∨ B) ⇔ ﹁A ∧ ﹁B，可以将∨和∧相互转换，由此我们可以再次简化联结词集为：{﹁, ∧}和{﹁, ∨}，所以他们也是联结词完备集。
由上面的讨论可知，联结词完备集可以有以下几种：
S1 = {﹁, ∧, ∨, →, ↔}。
S2 = {﹁, ∧, ∨, →}。
S3 = {﹁, ∧}。
S4 = {﹁, ∨}。
S5 = {﹁, →}。
3.其他联结词
在计算机硬件设计中，出现了与非门和或非门这样的结构，对应于此，定义了以下两个新的联结词。
1.与非联结词 ↑：P ↑ Q ⇔ ﹁(P ∧ Q)
2.或非联结词 ↓：P ↓ Q ⇔ ﹁(P ∨ Q)
可以证明{ ↑ }和{ ↓ }也是联结词完备集。
4.练习
1.命题符号化
- 杜老师或蔡老师可以教离散数学
讯享网P：杜老师可以教离散数学 Q：蔡老师可以教离散数学 P ∨ Q
只有天黑了，夜猫子才出来活动。（需要颠倒顺序）
P：天黑了 Q：夜猫子出来活动 Q → P - 若明天下雪，我去滑雪，否则我就在家里读书或看电视。
讯享网P：明天下雪 Q：我去滑雪 R：在家读书 S：在家看电视 (P → Q) ∨ (﹁P → (R ∨ S))
仅当你走，我将留下。（需要颠倒顺序）
P：你走 Q：我留 Q → P - 一个数是素数，当且仅当它只能被1和他自身整除。
讯享网P：素数 Q：只能被1和他自身整除 P ↔ Q
- 集合A是空集，当且仅当A中不含任何元素。
P：A是空集 Q：A中不含任何元素 P ↔ Q - 2是素数，当且仅当4是偶数。
讯享网P：2是素数 Q：4是偶数 P ↔ Q
2.命题公式的判断
- 判断下面公式中哪些是合式公式？哪些不是？
（1）(P → Q ∧ S) （2）(P ⇔ (R → S)) 不是合式公式（⇔不属于合式公式） （3）((﹁P → Q) → (Q → P))) 不是合式公式（右边的括号没有与之对应的左括号） （4）(RS → T) 不是合式公式（RS两个命题之间没有联结词） （5）(﹁(P ∨ Q) ∧ ﹁R) ∨ (((﹁P ∧ Q) ∨ ﹁R) ∧ S) 3.命题公式类型判断
- 判断下面命题公式哪个是重言式
讯享网A：(P → Q) → (Q → P) B：(P ∧ Q) → P C：(﹁P ∨ Q) ∧ ﹁(﹁P ∧ ﹁Q) D：﹁(P ∨ Q)
A：假设：P：T，Q：F (P → Q) ：F (Q → P) ：T (P → Q) → (Q → P)：T P：F，Q：T (P → Q) ：T (Q → P) ：F (P → Q) → (Q → P)：F（所以该命题公式不是重言式） 讯享网B：假设：P：T，Q：F (P ∧ Q) ：F (P ∧ Q) → P ：T P：F，Q：T (P ∧ Q) ：F (P ∧ Q) → P ：T P：F，Q：F (P ∧ Q) ：F (P ∧ Q) → P ：T P：T，Q：T (P ∧ Q) ：T (P ∧ Q) → P ：T (由此可得该公式是永真式)
C：假设：P：T，Q：F (﹁P ∨ Q) ：F ﹁(﹁P ∧ ﹁Q)：T (﹁P ∨ Q) ∧ ﹁(﹁P ∧ ﹁Q)：F（所以该命题公式不是重言式） 讯享网D：假设：P：T，Q：F ﹁(P ∨ Q) ：F（所以该命题公式不是重言式）
- 命题公式：(P ∧ (P → Q)) → Q是？
P：T，Q：F (P → Q) ：F P ∧ (P → Q) ：F (P ∧ (P → Q)) → Q：T P：F，Q：T (P → Q) ：T P ∧ (P → Q) ：F (P ∧ (P → Q)) → Q：T P：F，Q：F (P → Q) ：T P ∧ (P → Q) ：F (P ∧ (P → Q)) → Q：T P：T，Q：T (P → Q) ：T P ∧ (P → Q) ：T (P ∧ (P → Q)) → Q：T (由此可得该公式是永真式) 4.命题公式化简
- (P ∧ (P → Q)) → Q
讯享网⇔﹁(P ∧ (P → Q)) ∨ Q 蕴涵等值式 ⇔(﹁P ∨ ﹁(P → Q)) ∨ Q 德摩根律 ⇔(﹁P ∨ ﹁(﹁P ∨ Q)) ∨ Q 蕴涵等值式 ⇔(﹁P ∨ (P ∧ ﹁Q)) ∨ Q 德摩根律 ⇔((﹁P ∨ P) ∧ (﹁P ∨ ﹁Q)) ∨ Q 分配律 ⇔(T ∧ (﹁P ∨ ﹁Q)) ∨ Q 排中律 ⇔(﹁P ∨ ﹁Q) ∨ Q 同一律 ⇔﹁P ∨ (﹁Q ∨ Q) 结合律 ⇔﹁P ∨ T 排中律 ⇔T 零率
- P → (P ∨ Q)
⇔﹁P ∨ (P ∨ Q) 蕴涵等值式 ⇔(﹁P ∨ P) ∨ Q 结合律 ⇔T ∨ Q 排中律 ⇔T 零率 - Q → (P ∧ Q)
讯享网⇔﹁Q ∨ (P ∧ Q) 蕴涵等值式 ⇔(﹁Q ∨ P) ∧ (﹁Q ∨ Q) 分配律 ⇔(﹁Q ∨ P) ∧ T 排中律 ⇔﹁Q ∨ P 同一律
- (﹁P ∧ (P ∨ Q)) → Q
⇔(﹁P ∧ P) ∨ (﹁P ∧ Q)) → Q 分配律 ⇔(F ∨ (﹁P ∧ Q)) → Q 否定律 ⇔(﹁P ∧ Q) → Q 同一律 ⇔﹁(﹁P ∧ Q) ∨ Q 蕴涵等值式 ⇔(P ∨ ﹁Q) v Q 德摩根律 ⇔P ∨ (﹁Q v Q) 结合律 ⇔P ∨ T 排中律 ⇔T 零率 - (P → Q) → Q
讯享网⇔(﹁P ∨ Q) → Q 蕴涵等值式 ⇔﹁(﹁P ∨ Q) ∨ Q 蕴涵等值式 ⇔(P ∧ ﹁Q) ∨ Q 德摩根律 ⇔(P ∨ Q) ∧ (﹁Q ∨ Q) 分配律 ⇔(P ∨ Q) ∧ T 排中律 ⇔P ∨ Q 同一律
- (﹁P ∧ Q) ∨ (﹁P ∧ ﹁Q)
⇔﹁P ∧ (Q ∨ ﹁Q) 分配律 ⇔﹁P ∧ T 排中律 ⇔﹁P 同一律 - Q → (P ∨ (P ∧ Q))
讯享网⇔Q → P 吸收率 ⇔﹁Q ∨ P 蕴涵等值式
- P ∧ (P → Q) → Q
⇔P ∧ (﹁P ∨ Q) → Q 蕴涵等值式 ⇔((P ∧ ﹁P) ∨ (P ∧ Q)) → Q 分配律 ⇔(F ∨ (P ∧ Q)) → Q 否定律 ⇔(P ∧ Q) → Q 排中律 ⇔﹁(P ∧ Q) ∨ Q 蕴涵等值式 ⇔(﹁P ∨ ﹁Q) ∨ Q 德摩根律 ⇔﹁P ∨ (﹁Q ∨ Q) 交换律 ⇔﹁P ∨ T 排中律 ⇔T 零率 5.命题公式等值转换
将下面公式变换成与之等价并且仅包含：{﹁，∧，∨}，中的联结词公式。
- ﹁(P ↔ (Q → (P ∨ R)))
讯享网⇔﹁(P ↔ (﹁Q ∨ (P ∨ R))) 蕴涵等值式 ⇔﹁((P → (﹁Q ∨ (P ∨ R)) ∧ ((﹁Q ∨ (P ∨ R)) → P)) 等价等值式 ⇔﹁((﹁P ∨ (﹁Q ∨ (P ∨ R)) ∧ (﹁(﹁Q ∨ (P ∨ R)) ∨ P)) 蕴涵等值式 ⇔(P ∧ ﹁(﹁Q ∨ (P ∨ R)) ∨ ((﹁Q ∨ (P ∨ R)) ∧ ﹁P) 德摩根律 ⇔(P ∧ (Q ∧ ﹁(P ∨ R)) ∨ ((﹁Q ∨ (P ∨ R)) ∧ ﹁P) 德摩根律 ⇔(P ∧ (Q ∧ (﹁P ∧ ﹁R)) ∨ ((﹁Q ∨ (P ∨ R)) ∧ ﹁P) 德摩根律 ⇔(F ∧ (Q ∧ ﹁R)) ∨ ((﹁Q ∨ (P ∨ R)) ∧ ﹁P) 否定律 ⇔F ∨ ((﹁Q ∨ (P ∨ R)) ∧ ﹁P) 零率 ⇔((﹁Q ∨ (P ∨ R)) ∧ ﹁P) 同一律 ⇔(﹁P ∧ ﹁Q) ∨ (﹁P ∧ P) ∨ (﹁P ∧ R) 分配律 ⇔(﹁P ∧ ﹁Q) ∨ F ∨ (﹁P ∧ R) 否定律 ⇔(﹁P ∧ ﹁Q) ∨ (﹁P ∧ R) 同一律 ⇔﹁P ∧ (﹁Q ∨ R) 分配律
- ((P ∨ Q) ∧ R) → (P ∨ R)
⇔﹁((P ∨ Q) ∧ R) ∨ (P ∨ R) 蕴涵等值式 ⇔(﹁(P ∨ Q) ∨ ﹁R) ∨ (P ∨ R) 德摩根律 ⇔((﹁P ∧ ﹁Q) ∨ ﹁R) ∨ (P ∨ R) 德摩根律 ⇔(﹁P ∧ ﹁Q) ∨ ((P ∨ R) ∨ ﹁R) 交换律 ⇔(﹁P ∧ ﹁Q) ∨ (P ∨ (R ∨ ﹁R)) 交换律 ⇔(﹁P ∧ ﹁Q) ∨ (P ∨ T) 排中律 ⇔(﹁P ∧ ﹁Q) ∨ T 同一律 ⇔T 同一律 - (P → (Q → R))
讯享网⇔﹁P ∨ (Q → R) 蕴涵等值式 ⇔﹁P ∨ ﹁Q ∨ R 蕴涵等值式
6.命题公式等值关系证明
(P → Q) ∧ (Q → R) ⇔ (P ∨ R) → Q
右 = ﹁(P ∨ R) ∨ Q 蕴涵等值式 ⇔(﹁P ∧ ﹁R) ∨ Q 德摩根率 ⇔(﹁P ∨ Q) ∧ (﹁R ∨ Q) 分配律 ⇔(P → Q) ∧ (Q → R) = 左 蕴涵等值式 (P ∧ Q ∧ A → C) ∧ (A → P ∨ Q ∨ C) ⇔ (A ∧ (P ↔ Q)) → C
讯享网左 = (﹁(P ∧ Q ∧ A) ∨ C) ∧ ((﹁A ∨ (P ∨ Q ∨ C)) 蕴涵等值式 ⇔((﹁P ∨ ﹁Q ∨ ﹁A) ∨ C) ∧ ((﹁A ∨ (P ∨ Q ∨ C)) 德摩根率 ⇔((﹁P ∨ ﹁Q) ∨ (﹁A ∨ C)) ∧ ((﹁A ∨ C) ∨ (P ∨ Q)) 结合律 ⇔(﹁A ∨ C) ∨ ((﹁P ∨ ﹁Q) ∧ (P ∨ Q)) 分配律 ⇔(﹁A ∨ C) ∨ (((﹁P ∨ ﹁Q) ∧ P) ∨ ((﹁P ∨ ﹁Q) ∧ Q)) 分配律 ⇔(﹁A ∨ C) ∨ ((﹁P ∧ P) ∨ (﹁Q ∧ P)) ∨ ((﹁P ∧ Q) ∨ (﹁Q ∧ Q)) 分配律 ⇔(﹁A ∨ C) ∨ ((F ∨ (﹁Q ∧ P)) ∨ ((﹁P ∧ Q) ∨ F)) 否定律 ⇔(﹁A ∨ C) ∨ ((﹁Q ∧ P) ∨ (﹁P ∧ Q)) 排中律 ⇔(﹁A ∨ C) ∨ ﹁((Q ∨ ﹁P) ∧ (P ∨ ﹁Q)) 德摩根率 ⇔(﹁A ∨ C) ∨ ﹁((P → Q) ∧ (Q → P)) 蕴涵等值式 ⇔(﹁A ∨ C) ∨ ﹁(P ↔ Q) 等价等值式 ⇔(﹁A ∨ ﹁(P ↔ Q)) ∨ C 结合律 ⇔﹁(A ∧ (P ↔ Q)) ∨ C 德摩根率 ⇔(A ∧ (P ↔ Q)) → C = 右 蕴涵等值式
(﹁P ∨ ﹁Q) ∧ (P ∨ Q) ⇔ (﹁Q ∧ P) ∨ (﹁P ∧ Q)
P → (Q → R) ⇔ Q → (P → R)
左 = ﹁P ∨ (Q → R) 蕴涵等值式 ⇔﹁P ∨ (﹁Q ∨ R) 蕴涵等值式 ⇔﹁Q ∨ (﹁P ∨ R) 结合律 ⇔﹁Q ∨ (P → R) 蕴涵等值式 ⇔Q → (P → R) 蕴涵等值式 (P → Q) ∧ (P → R) ⇔ P → (Q ∧ R)
讯享网左 = (﹁P ∨ Q) ∧ (﹁P ∨ R) 蕴涵等值式 ⇔﹁P ∨ (Q ∧ R) 分配律 ⇔P → (Q ∧ R) 蕴涵等值式
(P ∨ Q) ∧ ﹁(P ∧ Q) ⇔ ﹁(P ↔ Q)
右 = ﹁((P → Q) ∧ (Q → P)) 等价等值式 ⇔﹁(P → Q) ∨ ﹁(Q → P) 德摩根率 ⇔﹁(﹁P ∨ Q) ∨ ﹁(﹁Q ∨ P) 蕴涵等值式 ⇔(P ∧ ﹁Q) ∨ (Q ∧ ﹁P) 德摩根率 ⇔((P ∧ ﹁Q ) ∨ Q) ∧ ((P ∧ ﹁Q) ∨ ﹁P) 分配律 ⇔((P ∨ Q) ∧ (﹁Q ∨ Q)) ∧ ((﹁P ∨ ﹁Q) ∧ (﹁P ∨ P)) 分配律 ⇔((P ∨ Q) ∧ T) ∧ ((﹁P ∨ ﹁Q) ∧ T) 排中律 ⇔(P ∨ Q) ∧ (﹁P ∨ ﹁Q) 同一律 ⇔(P ∨ Q) ∧ ﹁(P ∧ Q) = 左 德摩根率 (A ∧ ﹁B) ∨ (B ∧ ﹁A) ⇔ (A ∨ B) ∧ (﹁A ∨ ﹁B)
7.真值表法证明吸收率
A |
B | A ∧ B | A ∨ B | A ∨ (A ∧ B) |
A ∧ (A ∨ B) |
|---|---|---|---|---|---|
T |
T | T | T | T |
T |
T |
F | F | T | T |
T |
F |
T | F | T | F |
F |
F |
F | F | F | F |
F |
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