2025年极限的概念

科技前沿 • 2025-03-09 14:00 • 阅读 54

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数列极限

小例子： $\lim_{n\rightarrow \infty }$
讯享网 $\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{(-1)^{n}}$ ______.

法1：（分奇偶）n取奇数时，lim $\frac{n}{n+1}$ =1 ,n取偶数n+1/n时也为1；

法2：夹逼 $\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{(-1)^{n}}$ 的指数最小是-1，最大是1 ， $\frac{n}{n+1}$ $\leq$ $\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{(-1)^{n}}$ $\leq$ $\frac{n+1}{n}$

一个重要的证明题（要牢记）

（1）若 $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $x_{n}$ a ，则 $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $\left | x_{n} \right |$ = $\left | a \right |$ ，但反之不成立。

证明：由定义对于任意的 $\varepsilon$ >0，总存在正整数N，使得当n> N时， $\left | x _{n }-a\right |$ < $\varepsilon$ 成立。

要使对于任意的 $\varepsilon$ >0，总存在正整数N，使得当n> N时， $\left | \left | x _{n }\right |-\left | a \right | \right |$ < $\varepsilon$ 成立,

由于 $\left | x _{n }-a\right |$ 总是大于 $\left | \left | x _{n }\right |-\left | a \right | \right |$ 的，所以 $\left | \left | x _{n }\right |-\left | a \right | \right |$ < $\varepsilon$ 成立， $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $\left | x_{n} \right |$ = $\left | a \right |$ 。

反之，可举反例， $\left ( -1 \right )^{n}$ 绝对值极限为1，而本身是-1，1，-1，1交错的，极限不存在。

（2） $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $x_{n}$ 0 的充分必要条件是 $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $\left | x_{n} \right |$ = 0.

证明：前推后（1）已证，对于任意的 $\varepsilon$ >0，总存在正整数N，使得当n> N时， $\left | \left | x _{n }\right |-\left | 0 \right | \right |$ < $\varepsilon$ .

证 $\left | x _{n }-0\right |$ < $\varepsilon$ 成立， $\left | \left | x _{n }\right |-\left | 0 \right | \right |$ < $\varepsilon$ 就是 $\left | \left | x _{n }\right | \right |$ ，所以两者等同。这是很重要的结论。

函数极限

f(x) 在点 $x_{0}$ 的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意 $\varepsilon$ >0,总存在正数 $\delta$ ，使得0< $\left | x-x_{0} \right |< \delta$ 时， $\left | f(x)-A \right |< \varepsilon$

$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}= 1$ ,那么把x换成 $xsin\frac{1}{x}$ 还是1吗？

我们知道，函数在一点有极限的前提是在去心邻域内有定义，而 $xsin\frac{1}{x}$ 在0点附近情况是怎样的呢？

当取 $\frac{1}{n\pi }$ 时 $xsin\frac{1}{x}$ 为0，f(x)在0点分母为0，函数没有定义，所以极限不存在。（ $sin\frac{1}{x}$ 是一个重要的反例）

关于保号性

夹逼准则和单调有界准则

例1：求 $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x[\frac{1}{x}]$

tips: $\frac{1}{x}-1< [\frac{1}{x}]\leq \frac{1}{x}$ ,再乘以X，夹逼

例2：求 $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}}{n!}=$

解2：单调有界， $x_{n}$ = $\frac{2^{n}}{n!}$ $x_{n+1}=\frac{2}{n+1}x_{n}$ ,(见到递推式，单调有界)， $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}<1$ ,单调递减有下界0， $x_{n+1}=\frac{2}{n+1}x_{n}$ 两端取极限得A=0.