2025年DFT与IDFT

科技前沿 • 2025-03-18 11:26 • 阅读 44

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DFT与IDFT

一.方法简介

序列x(n)(n=0,1,…N-1)的DFT定义为
$X（k）=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi nk}{N}}$

$设x(n)=a(n)+jb(n),\quad X(k)=A(k)+jB(K),\quad Q=2\pi/N$

则上式变为：
$A（k）+jB(k)=\sum_{n=0}^{N-1}[a(n)+jb(n)][\cos(Qnk)-j\sin(Qnk)]$
即
$A（k）=\sum_{n=0}^{N-1}[a(n)\cos(Qnk)+b(n)\sin(Qnk)]$

$B(k)=\sum_{n=0}^{N-1}[b(n)\cos(Qnk)-a(n)\sin(Qnk)]$

序列X（k）的IDFT定义为：
$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_{N}^{-nk},\quad n=0,1,...N-1$

$它与DFT的区别在于将W_{N}改变为改变为W_{N}^{-1},并多了一个除以N 的运算，公式如下$

$a(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}[A(k)\cos(Qnk)-B(k)\sin(Qnk)]$

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$b(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}[B(k)\cos(Qnk)+A(k)\sin(Qnk]$

二.编程实现

考滤到DFT和IDFT算法过程中有部分相似，可以把它们合成到一个算法。

DFT.c

/* x-存放要变换数据的实部 y-存放要变换数据的虚部 a-存放变换结果的实部 b-存放变换结果的虚部 n-数据长度 sign-为1时执行DFT，为-1时执行IDFT */ #include "math.h" void dft(x,y,a,b,n,sign) int n, sign; double x[],y[],a[],b[]; { 
    int i,k; double c,d,q,w,s; q = 6./n; for (k=0;k<n;k++) { 
    w=k*q; a[k]=b[k]=0.0; for(i=0;i<n;i++) { 
    d=i*w; c=cos(d); s=sin(d)*sign; a[k]+=c*x[i] + s*y[i]; b[k]+=c*y[i] - s*x[i]; } } if(sign == -1) { 
    c=1.0/n; for (k=0;k<n;k++) { 
    a[k]=c*a[k]; b[k]=c*b[k]; } } }

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下面验证此算法，对X(n)=(0,1,2,3,4,5,6,7)，做DFT和IDFT算法

dft_d.c

讯享网#include "stdio.h" #include "math.h" #include "dft.c" #define N 4 static double x[N],y[N],a[N],b[N],c[N]; main(){ 
    int k; int i=0; for(i=0; i<N; i++) { 
    x[i]=i; y[i]=0; } dft(x,y,a,b,N,1); //DFT变换 for(i=0; i<N; i++) { 
    c[i]=sqrt(a[i]*a[i]+b[i]*b[i]); //算出模 printf("%lf + j %lf \n",a[i],b[i]);//输出变换后结果  printf("%lf \n",c[i]); //输出模值 printf("\n"); } dft(a,b,x,y,N,-1); //IDFT变换 for(i=0; i<N; i++) { 
    printf("%lf \n",x[i]); //输出x(n)的实部 } }

运行结果：

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2025年DFT与IDFT

DFT与IDFT

一.方法简介

二.编程实现

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