泰勒中值定理
如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在含有 x 0 x_0 x0的某个开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内具有直到 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)阶的导数，则对任一 x ∈ ( a , b ) x \in (a,b) x∈(a,b)，有
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) , f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x), f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!fn(x0)(x−x0)n+Rn(x),
公式(1)： f ( x ) f(x) f(x)按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式
假设
P n ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n , P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n, Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!fn(x0)(x−x0)n,
公式(2)：此关于 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0)的 n n n次多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn(x)称为 f ( x ) f(x) f(x)按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0)的幂展开的n次泰勒多项式
则有
f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) , f(x)=P_n(x)+R_n(x), f(x)=Pn(x)+Rn(x),
其中
R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 ， 其 中 ， ξ 为 x 0 和 x 之 间 的 某 个 值 . R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}，其中，\xi为x_0和x之间的某个值. Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1，其中，ξ为x0和x之间的某个值.
公式(3)：此 R n ( x ) R_n(x) Rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项
性质描述
第1点：泰勒中值定理和拉格朗日中值定理之间的联系
当 n = 0 n=0 n=0时，泰勒公式会变成拉格朗日中值公式： f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( ξ ) ( x − x 0 ) f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0) f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x−x0)，其中， ξ \xi ξ在 x 0 x_0 x0与 x x x之间。因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
拉格朗日中值定理
如果函数 f ( x ) f(x) f(x)满足：（1）在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续；（2）在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导，那么在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少有一点 ξ ( a < ξ < b ) \xi(a<\xi<b) ξ(a<ξ<b)，使等式： f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)成立。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的弧 A B ^ \widehat{AB} AB
上除端点外处处具有不垂直于 x x x轴的切线，那么这弧上至少有一点 C C C，使曲线在 C C C点处的切线平行于弦 A B AB AB。其中， f ( b ) − f ( a ) b − a \frac{f(b)-f(a)}{b-a} b−af(b)−f(a)为弦 A B AB AB的斜率，而 f ′ ( ξ ) f'(\xi) f′(ξ)为曲线在点 C C C处的切线的斜率。
第2点：误差估计式与佩亚诺型余项
由泰勒中值定理可知，以多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn(x)近似表达函数 f ( x ) f(x) f(x)时，其误差为 ∣ R n ( x ) ∣ |R_n(x)| ∣Rn(x)∣。如果对于其某个固定的 n n n，当 x ∈ ( a , b ) x \in (a,b) x∈(a,b)时， ∣ f n + 1 ( x ) ∣ ⩽ M |f^{n+1}(x)| \leqslant M ∣fn+1(x)∣⩽M，则有误差估计式
∣ R n ( x ) ∣ = ∣ f n + 1 ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 ∣ ⩽ M ( n + 1 ) ! ∣ x − x 0 ∣ n + 1 ， 及 lim x → x 0 R n ( x ) ( x − x 0 ) n = 0. |R_n(x)|=|\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}|\leqslant \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}，及\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0. ∣Rn(x)∣=∣(n+1)!fn+1(ξ)(x−x0)n+1∣⩽(n+1)!M∣x−x0∣n+1，及x→x0lim(x−x0)nRn(x)=0.
公式（4）：误差估计式
由此可见，当 x → x 0 x \rightarrow x_0 x→x0时误差 ∣ R n ( x ) ∣ |R_n(x)| ∣Rn(x)∣是比 ( x − x 0 ) n (x-x_0)^n (x−x0)n高阶的无穷小，即
R n ( x ) = o [ ( x − x 0 ) n ] . R_n(x)=o[(x-x_0)^n]. Rn(x)=o[(x−x0)n].
公式（5）：此 R n ( x ) R_n(x) Rn(x)的表达式称为佩亚诺（Peano）型余项
第3点：带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式
在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + o [ ( x − x 0 ) n ] . f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]. f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!fn(x0)(x−x0)n+o[(x−x0)n].
公式（6）： f ( x ) f(x) f(x)按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式
第4点：带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式
在泰勒公式（1）： f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!fn(x0)(x−x0)n+Rn(x)中，如果取 x 0 = 0 x_0=0 x0=0，则 ξ \xi ξ在0与 x x x之间。因此可以令 ξ = θ x ( 0 < θ < 1 ) \xi=\theta x(0<\theta<1) ξ=θx(0<θ<1)，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f n ( 0 ) n ! x n + f n + 1 ( θ x ) ( n + 1 ) ! x n + 1 , ( 0 < θ < 1 ) . f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^n(0)}{n!}x^n+\frac{f^{n+1}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1},(0<\theta<1). f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+...+n!fn(0)xn+(n+1)!fn+1(θx)xn+1,(0<θ<1).
公式(7)：带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式
第5点：带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式
在泰勒公式（7）： f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + o [ ( x − x 0 ) n ] f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n] f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!fn(x0)(x−x0)n+o[(x−x0)n]中，如果取 x 0 = 0 x_0=0 x0=0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f n ( 0 ) n ! x n + o ( x n ) . f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^n(0)}{n!}x^n+o(x^n). f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+...+n!fn(0)xn+o(xn).
公式(8)：带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式
第6点：函数f(x)的近似公式与误差估计式
由带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式(7）或带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式（8）可得近似公式
f ( x ) ≈ f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f ( n ) ( 0 ) n ! x n ， f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n， f(x)≈f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+...+n!f(n)(0)xn，
误差估计式（4）相应的会变成
∣ R n ( x ) ∣ ⩽ M ( n + 1 ) ! ∣ x ∣ n + 1 . |R_n(x)|\leqslant \frac{M}{(n+1)!}|x|^{n+1}. ∣Rn(x)∣⩽(n+1)!M∣x∣n+1.
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