2025年离散数学1_第1章_复合命题与联结词

科技前沿 • 2025-04-06 16:06 • 阅读 39

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由原子命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题

联结词都具有特定的符号

数理逻辑中常用的联结词共有5个:

1. 否定

定义: 设P为命题，P的否定是一个复合命题，记作 ┓P, 符号 ┓ 称作否定联结词

2. 合取

定义：设P, Q 为两个命题，P 和 Q的合取是一个复合命题, 记作P ∧ Q, 符号 ∧ 称为合取联结词.

合取，有并且，交集的含义

3. 析取

定义：设P, Q 为两个命题，P 和 Q的析取是一个复合命题, 记作P ∨ Q, 符号 ∨ 称为析取联结词.

析取，有或者，并集的含义

4. 条件

定义：设P, Q 为两个命题，P 和 Q组成的条件命题是一个复合命题, 记作P → Q, 符号 → 称为条件联结词.

复合命题

P → Q 读作如果P 那么Q

条件, 有推理出的含义

条件联结词 → 的定义如下表所示

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条件命题表示的是：当前一个命题 P 发生时，后一个命题 Q 是否发生。当前一个命题没有发生，即P为F时，后一命题Q 发生/ 不发生都没有关系

这里可以这样解释第三种情况: 如果P为假，那么Q为真, 这是真命题

第四种情况: 如果P为假，那么Q为假，这是真命题

5. 双条件

定义：设P, Q 为两个命题，P 和 Q组成的双条件命题是一个复合命题, 记作P ↔ Q, 符号 ↔ 称为双条件联结词.

复合命题

P ↔ Q 读作 P 当且仅当 Q

双条件，有互为充要条件的含义

双条件联结词 ↔ 的定义如下表所示

双条件命题 P<—>Q 表示 P 与 Q 的真值是否相同, 当他们真值相同时，可以看作 P 与 Q 是等价的，即 P 与 Q 互为充要条件。

不难看出，（P—>Q） (Q—>P) 与 P<—>Q 的逻辑关系完全一样。都表示互为充要条件.

下面看例子:

例子一 : 设P 表示：小王努力学习。 q表示: 小王学习成绩优秀

则命题: "如果小王努力学习，那么他的学习成绩就优秀."

可符号化为: p————>q

例子二 : 设P 表示：小王努力学习。 q表示: 小王学习成绩优秀

则命题: "只有小王努力学习，他才能学习成绩优秀."

可符号化为: q————>p, 或者 ┓p————>┓q

注意： “只有p, 才有q” 意味着 "如果没有p, 那么就没有q"

6. 联结词的优先级

优先次序依次为: ¬ ∧ ∨ → ↔