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匹配与最大匹配

匹配

$G$是一个图，由$G$中不相邻的边组成的集合$M$称为$G$的一个匹配（matching）。对于匹配$M$中的每一条边$e=uv$，称$u$和$v$被匹配$M$所匹配，是$M$饱和的

1. 更为确切地说，$M$是图$G$中的一个匹配是指：$M\subset E(G)$，且对$\forall e_i,e_j\in M$，若$e_i$和$e_j$不相同，则两条边不相邻
2. 图中的每一个顶点，要么未被$M$饱和，要么仅被$M$中的一条边饱和
3. 一个图的匹配一般不唯一。特别地，$G$中的每一条边都构成$G$的一个匹配
4. 平凡图也有匹配（考虑边集为$\varnothing$）

最大匹配

图$G$中含边数最多的匹配

1. 用$|M|$表示匹配$M$所含有的边数，则最大匹配可以更加确切地表述为：$M$是$G$中的一个匹配，而且不存在匹配$M^{\prime }$，使得$|M^{\prime }|>|M|$
2. 如果$G$中的每一个顶点都是$M$饱和的，则$M$是$G$的完美匹配
3. 任何图的完美匹配都是最大匹配

交错路、增广路

边在$M$和$E(G)-M$中交替出现的路成为交错路。如果交错路的起点和终点都是$M$非饱和的，则称其为一条$M$增广路

最大匹配的条件

$M$是最大匹配的充分必要条件是：$G$中不存在$M$增广路

证明

必要性：

如果$M$是最大匹配，还有一条增广路$P$，就可以把$P$上所有不属于$M$的边构成集合$M^{\prime }$，显然$M^{\prime }$也是$G$中的一个匹配（边与边之间不相邻），而且比$M$多一条边。矛盾。

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充分性：

如果$G$中不存在$M$增广路，设$M$不是最大匹配，另外存在一个匹配$M^{\prime }$，使得$|M^{\prime }|>|M|$，令：

$$H=G[M\oplus M^{\prime }]$$

其中$M\oplus M^{\prime }=M\cup M^{\prime }-M\cap M^{\prime }$，成为对称差，即在$M$或$M^{\prime }$中却又不同时在两者之中。$H$即边集合$M\oplus M^{\prime }$导出的子图。

$H$中的顶点的度，要么是$1$要么是$2$（可能与$M$或者$M^{\prime }$中的一个或者两个关联），所以$H$的每一个连通分支，一定是$M$的边和$M^{\prime }$的边交替出现的：

• 一个偶长度圈
• 一条路

由于$M$和$M^{\prime }$边的数量不一样且有$|M^{\prime }|>|M|$，因此不可能全是偶长度圈，而且也一定存在一条路，这条路两端都是$M^{\prime }$中的边。而这条路就是一条$M$增广路。矛盾。

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完美匹配

奇分支

图$G$中含有奇数个顶点的连通分支称为$G$的奇分支。$G$的奇分支的个数使用$o(G)$表示

完美匹配的条件

（Tutte定理）图$G$有完美匹配的充分必要条件是：对$\forall S\subset V(G)$，$o(G-S)\le |S|$（其中$|S|$为$S$所含顶点的个数）

证明

必要性：

设图$G$有完美匹配$M$，对于$\forall S\subset G$，如果$G-S$没有奇分支，则结论显然成立。否则设$G_1,\dots ,G_k$是$G-S$的所有奇分支。

由于$M$是完美匹配，所以对于每一个奇分支，其中所有的顶点在$G$中都是饱和的。使其饱和的边可能在奇分支内部，也可能与$S$中的顶点连接。由于一个奇分支如果两两内部配对，最后至少还会剩下一个顶点必须要和$S$中的顶点（设为$v_i$）通过$M$中的边饱和。又因为$S$中的顶点在$M$下只能与一个顶点进行匹配，最多也就是$|S|$个，因此就有 o ( G − S ) = k = ∣ { v 1 … v k } ∣ ≤ ∣ S ∣ o(G-S)=k=|\{v_1\dots v_k\}|\le |S| o(G−S)=k=∣{ v1​…vk​}∣≤∣S∣

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充分性：

假设图$G$满足：对于$\forall S\subset V(G)$，$o(G-S)\le |S|$，但是$G$中不存在完美匹配。

首先取$S=\varnothing$，则$o(G)=0$，所以显然$V(G)$是偶数。

之后给$G$添加边，获得一个边尽可能多的没有完全匹配的图$G^{\ast }$（称为边极大图）。由于$G$是$G^{\ast }$的生成子图，所以$\forall S\subset V(G)$，$G-S$是$G^{\ast }-S$的生成子图。所以有：
$$o(G^{\ast }-S)\le o(G-S)\le |S|(\ast )$$

定义：
U = { u ∣ u ∈ V ( G ∗ ) , d G ∗ ( u ) = v − 1 } U=\{u\mid u\in V(G^*),d_{G^*}(u)=v-1\} U={ u∣u∈V(G∗),dG∗​(u)=v−1}

如果$U=V(G^{\ast })$，那么$G^{\ast }$就是偶数阶完全图，而完全图显然有完美匹配，矛盾。因此有$U\ne V(G^{\ast })$。可以证明，此时$G^{\ast }-U$的每一个连图分支都是完全图（作为命题$\mathrm{A}$后面另证）

根据$(\ast )$式，有$o(G^{\ast }-U)\le |U|$。可以构造出一个$G^{\ast }$的完美匹配如下：

1. $G^{\ast }-U$中的每一个奇分支的一个顶点和$U$的一个顶点匹配
2. $U$中剩余的顶点以及$G^{\ast }-U$中各个分支剩余的顶点（奇分支中剩余的顶点和偶分支的所有顶点）在本分支内进行配对

由于$U$（由于$U$的定义）和各个分支（根据命题$\mathrm{A}$）都是完全图，因此一定可以实现这样的构造。

由此证明出矛盾。

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定理$\mathrm{A}$的证明：

如果$G^{\ast }-U$中某一个连通分支$G_i$不是完全图，则显然有$|V(G_i)|\ge 3$，且必然存在$x,y,z\in V(G_i)$，使得$xy,yz\in E(G_i)$，且$zx\notin E(G_i)$。

又由于$y\notin U$，也就是$d_{G^{\ast }}(y)<k-1$，也就是在$G^{\ast }$中一定存在一个点$w\in V(G^{\ast }-U)$与$y$不相邻，即$yw\notin E(G^{\ast })$。

现在我们就有了两个不在$E(G^{\ast })$中的边：$zx$和$yw$。由于$G^{\ast }$是极大的没有完美匹配的图，所以$G^{\ast }+xz$和$G^{\ast }+yw$都存在完美匹配。将这两个完美匹配分别记为$M_1$（一定含有$xz$）和$M_2$（一定含有$yw$）。

定义$H$为 G ∗ ∪ { x z , y w } G^*\cup \{xz,yw\} G∗∪{ xz,yw}中由对称差$M_1\oplus M_2$导出的子图，由于两个完美匹配边的数量相等，因此$H$的所有连通分支都是偶长度圈。

考虑两种情况：

1. $zx$和$yw$在同一个连通分支（也就是同一个偶圈中），不妨设$x,y,w,z$按照顺时针顺序在这个偶长度圈之中出现。考虑这样的一种构造方法：
   • $M_1$在$yw\dots z$段中的边集记为$M_1^{\prime }$
   • $M_2$在$yw\dots z$段中的边集记为$M_2^{\prime }$
   • M 1 ′ ∪ { y z } ∪ ( M 2 − M 2 ′ ) M_1'\cup\{yz\}\cup(M_2-M_2') M1′​∪{ yz}∪(M2​−M2′​)就以是个不含$zx$和$yw$的，满足$G^{\ast }$构造方法的一个完美匹配。与$G^{\ast }$的性质矛盾。（$M_1^{\prime }$不含$yw$，使得除了$y$和$z$以外的所有$yw\dots z$中的点都得到了饱和； { y z } \{yz\} { yz}使得$y$和$z$得到饱和；$(M_2-M_2^{\prime })$使得除了$yw\dots z$之外的所有点都得到饱和）

2. $zx$和$yw$不在同一个连通分支中，设$yw$在连通分支$C$上，那么$M_1$在$C$上的边（不含$yw$使得$C$中的所有顶点饱和）和$M_2$不在$C$上的边（不含$zx$使得所有$C$以外的定点得到了饱和）构成了$G^{\ast }$的一个完美匹配，矛盾。

因此$G^{\ast }-U$的所有连通分支都是完全图。

推论

推论一

偶数阶$(k-1)$边连通的$k$正则图有完美匹配

证明

当$k=1$时，结论显然

假定$k\le 2$。任取$S\subset V(G)$，若有$S=\varnothing$，则$G-S=G$，无奇分支，$o(G-S)=|S|=0$，满足Tutte定理。

否则，定义：
v i = ∣ V ( G i ) ∣ m i = ∣ { e ∣ e 是 G i 和 S 之 间 的 连 边 } ∣ v_i=|V(G_i)|\\ m_i=|\{e\mid e 是G_i和S之间的连边\}| vi​=∣V(Gi​)∣mi​=∣{ e∣e是Gi​和S之间的连边}∣

由于${\kappa }^{\prime }(G)\ge k-1$（根据边连通度为$k-1$的条件），所以一定有$m_i\ge k-1$。如下图所示：

如果存在一个$i$，使得$m_i=k-1$。由于$G$是正则图，因此有${\sum }_{v\in V(G_i)}{d}_G(v)=k{v}_i$，从而有：

$$m_i=\sum _{v\in V(G_i)}{d}_G(v)-\sum _{v\in V(G_i)}{d}_{G_i}(v)=k{v}_i-2\epsilon (G_i)$$

这个式子的意思就是，$G_i$连到$S$的边的数量，就是$G$中所有顶点度之和减去$G_i$中所有顶点度之和。其中前者很容易求出（因为是正则图），后面的其实并不需要我们求出具体值，只说明是偶数就可以（边的数量的两倍）

因此就有：

$$2\epsilon (G_i)=k{v}_i-m_i=k{v}_i-(k-1)=k(v_i-1)+1$$

由于$v_i-1$是偶数（因为$G_i$是奇分支）因此当时的右边就是奇数；而等式左边一定是偶数，因此矛盾。

上面的矛盾说明了，$m_i\ge k$。因此就有${\sum }_{i=1}^n{m}_i\ge kn$。又由正则性可知，${\sum }_{v\in S}{d}_G(v)=k|S|$，因此就有：

$$o(G-S)=n\le \frac{1}{k}\cdot \sum _{i=1}^n{m}_i\le \frac{1}{k}\sum _{u\in S}{d}_G(u)=|S|$$

对于$\frac{1}{k}\cdot {\sum }_{i=1}^n{m}_i\le \frac{1}{k}{\sum }_{u\in S}{d}_G(u)$：

• $\frac{1}{k}\cdot {\sum }_{i=1}^n{m}_i$是$S$与所有奇分支所连接的边的数量
• $\frac{1}{k}{\sum }_{u\in S}{d}_G(u)$是$S$与所有奇偶分支、以及$S$内部相互连接的所有边的数量。

因此显然两者之间有不等关系。

根据Tutte定理就可以得出结论。

推论二

$2$-边连通（无割边）的$3$-正则图由完美匹配

由于每个顶点的度都是$3$，而所有顶点的度之和需要是偶数，因此顶点数量就是偶数。根据上面的推论代入之后显然。

推论三

偶数阶完全图$K_{2n}$有$2n-1$个边不重的完美匹配

记$K_{2n}$的顶点集为 { v 1 , … , v 2 n } \{v_1,\dots ,v_{2n}\} { v1​,…,v2n​}，任取$2n-1$个顶点（不妨设为 { v 1 , … v 2 n − 1 } \{v_1,\dots v_{2n-1}\} { v1​,…v2n−1​}），构造一个正多边形，并将剩下的那一个顶点（不妨设为$v_{2n}$）放在正多边形的中心位置。考虑每一个多边形顶点$v_i$和中心点$v_{2n}$相连的直线，以及与其垂直的直线，记为$M_i$。显然每一个$M_i$都是原图的匹配，而且每一个$M_i$之间没有任何一条重边。