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好，现在我们正式开始《几何原本》的阅读。打开《几何原本》，大家首先会看到23个定义，然后跟着是5条公设和5条公理。

【01定义】

定义是非常重要，但是我们的学习里非常容易忽略的东西。有很多问题都是因为大家在心里默认了一个概念，但是却没有明确的定义导致的。数学是非常严密的一门学科，我们学习数学，也要重点学习这种严密，不能逻辑推理要严密，定义也要非常的严密。

几何，很多人都有感觉：不就是在纸上话的各种图形么？什么点、线、面、圆、角、各种形状等等。我们在日常生活里也天天跟这些东西打交道，篮球是圆的，尺子是直的，铅笔盒是个长方形等等。但是，很少有人会去追根究底的像这些定义。

比如，什么是直角？

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你可能会说，等于90°的角叫直角，然后你可能还会拿只笔，一竖一横画个直角的图像，告诉别人这就是直角。其他人有了你这个“等于90°的角”这个定义，还有一个直观的图像，大概就从直观上明白了直角是什么，于是也不继续追问直角是什么了。

很多人觉得，几何嘛，最主要的是直观，要有几何图像，然后能利用这些几何性质帮助我们更好的干活就行了。其实不然，至少，我在这里从时间缝里挤时间来给小孩子带读《几何原本》，绝不是让你了解几何直观，然后知道怎么利用几何的。

除了直观和实用，几何更加重要的一个特点，是它的严密。它从5个基本公设和23个定义出发，逻辑严密地推出了几百个命题，构建了恢弘的几何大厦，这才是被后来无数大科学家、哲学家无比推崇的地方。所以，我们学习《几何原本》，绝不能只是试图去了解它的直观和实用，而要了解它的严密。

所以，虽然他用“直角就是90°的角”来回应了你的问题，还给你画了直观的图像，但是这个事情没完。虽然它已经够直观了，但是它不够严密。

什么叫90度？再扣一点，什么叫角？

说到度，你可能会说：如果我们把一个圆平均分成360份，每一份代表的角就是1度，90度就是它的90倍。

我这里先不继续追问“什么是圆？”，当然，你应该会发现，如果我们用“到定点的距离等于定长的点组成的平面图形叫圆”来回答这个问题的话，那我们还可以继续追问，一直会追问到最基本的点、线的概念，一直追问到无法再继续被分解的最基础的东西。

我这里想重点强调的是：你是如何把一个圆平均分成360份的？你如何保证你能够把一个圆分成这么多份？而且，如果我把一个圆的1/360称为1度，你判断一个角是不是直角的时候，难道你要去数这个角是不是它的90倍？

所以，你会发现，用这种方式来定义直角并不合适，里面涉及太多我们未知的概念。你要定义一个新概念，必然又要定义需要与之相关的东西，这样拖家带口下去就没完没了，而且也不好用。

那么，我们来看看《几何原本》里是怎么定义直角的，大家可以翻到定义10。欧几里得是这么说的：当一条直线和另一条直线相交成的邻角彼此相等的时候，这些等角中的每一个角都叫直角。

你去看看，这样定义需要的前置条件就少多了。它只要先定义什么叫角？定义8和定义9里就说了，平面角是一个平面上两条线之间的倾斜，而且当线是直线的时候，这个角叫直线角。然后我们只需要再前置定义什么叫线就行了。

当然，因为你要求了两个邻角彼此相等，那么你还需要前置定义什么叫相等。这个在公理4里有说：彼此重合的东西彼此相等。

因为这是一条公理，公理就是说我们只能推到这里为止，不能再往前继续推进了，这是最前线。所以，后面大家会看到，欧几里得为了证明两个角相等，会大量使用公理4，也就是证明它们重合来证明角相等。

很多人不是从小就喜欢问十万个为什么么？阅读《几何原本》，最爽的一个地方就是：你什么东西都可以理直气壮的问为什么，任何一个概念，一个判断，都可以而且是必须问为什么，一直问到它最基本的定义和公设公理为止，没人说你钻牛角尖。

通过这个例子，我相信很多朋友对《几何原本》里的追问有了一定的概念，你也不敢轻易贸然地在下什么结论了。复杂的图形最后都要被追问到最基本，最基本的地方，也就是点和线。

【02点和线】

那么什么是点，什么是线呢？

这种最基本的定义，前面没有其它的定义可以再用的东西，确实不好下定义，在大家的思维还很朴素的古希腊时期，则更是如此。虽然我们可能觉得自己对点非常熟悉，但是你要严格给它下个定义，还是比较困难的。

你用笔在纸上点了一个点，那这是一个点么？不不不，笔芯是有大小，有面积的，你看起来再小，那也应该是一个小面啊，而我们觉得，点应该是没有大小的。

这里我就不细究了，大家去看看《几何原本》开篇的三个定义：点是没有部分的东西(A point is that which has no part)；线是没有宽的长(A line is breadthless length)；线之端是点(The extremities of a line are points)。

从这些东西来看，你可以感觉到，欧几里得再给点和线下定义的时候也很为难。因为你想要严格定义一个概念，就必然会用到更加基础的一些概念，你可以一步步回溯倒追，但是不能无限回溯下去吧，总得有个头，这就是最难办的地方了。

好，这里我就不细究了，大家可以去看看有了点和线这些最基本的概念，欧几里得接下来是如何去定义那些更加复杂的概念的。比如你像直角，像圆的定义，后面都是会经常用到的。

【03 5条公设】

过了23条定义，我们接下来就会看到大名鼎鼎的5条公设：

1、从任一点到任一点可作一条直线；

2、一条有限直线可沿直线继续延长；

3、以任一点为圆心和任意距离可以作圆；

4、所有的直角都彼此相等；

5、一直线与两条直线相交，若在同侧的两内角之和小于两直角，则这两条直线无定限延长后在该侧相交。

大家在书里看到的这5条公设，可能跟很多人平常感觉的不太一样。特别是第5条，大家印象里的第5条应该是平行公设，是熟悉的“过直线外一点有且只能作一条直线与已知直线平行”。

张卜天老师应该是根据《几何原本》的原文直译的，意思比较“原汁原味”，我们在几何课本里看到的，是经过后人加工，更加精简也更容易理解的等价命题，这个我们知道就行。我把更加简单的形式也写出来：

1、过两点能作且只能作一直线；

2、线段可以无限延长；

3、以任一点为圆心，任意长为半径可以作圆；

4、所有的直角都相等；

5、过直线外一点有且只能作一条直线与已知直线平行。

对比一下这5条公设和前面的23条定义，我想请大家先理解一下到底什么是公设，什么是定义？为什么有的话是作为定义出现，而有的话必须作为公设出现。

比如公设3和定义15，都是说的圆。圆我们都很清楚，拿着圆规在纸上一转就可以画一个圆，那为什么我们可以说“到一点的距离相等的点组成的平面图形叫圆”，而把这个叫做圆的定义(定义15)。

确又把“以任意一点为圆心，任意长为半径可以作圆”作为公设(公设3)？

有许多人(也包括我)最开始看到公设3的时候都很震惊，因为我们都知道所谓公设，就是我无法证明它是正是假。我只能这样假设，这是一套体系的大前提，所以，这种假设是是应该非常金贵的。

初看《几何原本》的5条公设，除了第5条感觉比较高大上，似乎告诉了我什么“有用的”知识以外，其它几条都像是“正确的大废话”，很多人都搞不明白为什么这种“天经地义”的东西需要先去作假设。

你像公设3，我已经通过定义15知道了圆就是到一点(圆心)的距离都相等的点组成的图形。那么，只要有一个圆，圆心到圆上各点的距离就应该都是一样的，那我为什么还要假设“以任一点为圆心，任意距离为半径可以作圆”(公设3)呢？

【04定义与公设】

大家可以这样想，定义其实就是告诉你这个东西是什么。比如，你可以说蛋糕是用面粉、鸡蛋、奶油等做成的一种食物，这是一个普适的定义，对谁都管用。

那么，你可不可以吃蛋糕呢？这就涉及到一种操作了，如果你今天甜食吃得太多了，牙医可能就认为你不可以再吃蛋糕了，这就不再是普适的东西了。所以，如果你非要说“人一定可以吃蛋糕”，那么你这句话没有支撑点，它并不是普适的，你要一定要认为它正确，那就只能动用公设了。

同样，蛋糕是用面粉、鸡蛋、奶油等做成的食物。那么，反过来，你有了面粉、鸡蛋、奶油，是不是就一定能做成蛋糕？

这就不一定了吧，不是天经地义的事情，如果你需要它成立，那也只能动用公设，你假设“只要有这些东西，就一定可以做成蛋糕”，这样大家对定义和公设之间的差别清楚一点了么？

同样的道理，我现在告诉你“圆是由到一点的距离相等的点组成的”，这是定义，普适的。那么，同样的，只要有一个点(奶油)，一段距离(面粉)，我能不能一定作个圆(蛋糕)出来呢？

这是不一定的事情，所以欧几里得要动用公设来保证它。

【05尺规作图】

那么，如果我有了两个点(奶油、面粉)，我能不能把它连成一条直线(蛋糕)呢？欧几里得说可以，这就是公设1(过任意两点可作一条直线)。

有了这条公设，我们就可以用直尺把纸上的两个点连起来了。你没听错，这就是我们在做平面几何的时候可以使用直尺的原因。

你以为你为什么可以随便拿着尺子画来画去？就是因为有公设1的保证。公设2又接着说了，延段可以继续延长，所以长度不够你可以用尺子延长。

我不知道你们在学习几何的时候有没有感觉到奇怪：为什么老是说作图的时候都是讲尺规作图？为什么只能使用直尺和圆规这两个东西？我用个量角器行不行？三等分角，为什么我不能直角用量角器把角的大小量出来？

现在你懂了为什么你可以用尺规作图了吧？

因为公设1让你可以把两个点连起来，公设2可以让你延长线段，这就是直尺干的事，公设允许所以你可以做。

为什么可以用圆规？就是因为公设3保证了以任意一点为圆心，任意长为半径可以作圆。而以一点为圆心，任意长为半径画图，这不就是圆规干的事么？

也就是说，《几何原本》的前三条公设，保证了你可以自由的使用直尺和圆规。你不能使用量角器平分或者三等分角，因为没有其它的公设说“任意一个角都可以被平分或者三等分”。

所以，是《几何原本》的公设告诉了你可以使用直尺和圆规在纸上作图。你每画一个圆，做一条直线，都要知道你这是在利用公设赋予你的权利在做事，我们学习几何就是要学习它这种严谨的思维，不要想当然。

这些我们在后面具体的命题里会有更加深刻的体会。

公设4说所有的直角都相等，公设5是平行公设，这些我就不说了。然后，我们再来翻开书，看看5条公理。

【06 5条公理】

欧式几何的5条公设鼎鼎有名，这5条公理知道的人就少多了。公设基本上是跟几何相关的一些假设，是欧几里得为了搭建它的几何体系的大前提。而这些公理则不限于几何，我们看看它说的是什么就懂了。

1、等于同量的量也彼此相等；

2、等量的和相等；

3、等量的差相等；

4、彼此重合的东西彼此相等；

5、整体大于部分。

我相信很多人看完这个，脑袋里又是大写的问号：这还用说么？

对，就是因为我们的思维了存在里太多“这还用说么？”这种朴素直观的形象，很多时候我们都是凭感觉作判断，这样就很难利用逻辑的力量深入挖掘。

这是病，得治，而《几何原本》就是极佳的药方。你不看几何原本，你很难想象人类的思维在几千年前就能如此严密，你很难想象很多东西并不是那么理所当然，即便你中学学了很多年的几何。

这些公理这里我不打算细说，你只要知道既然是公理，那肯定就只是一种人为的规定和假设。它的正确性是无法像定理一样得到完全的证明的，不管它看起来有多显而易见。

另外，大家也要记住，现在我们已经把5条公设和5条公理都列出来了。后面我们去证明具体的命题的时候，不论怎么操作，都不能干公设公理之外的事情，这就是法律，这就是准则。

大家在还小的时候，对哪些行为是违法的可能还没有概念，慢慢长大之后就熟悉规则了，甚至可以慢慢“随心所欲不逾矩”，我们也要慢慢熟悉这套几何世界的法则。

这次就说到这里，后面我会带大家从更具体的 命题入手，看欧几里得是如何遵纪守法地一步步把几何大厦建立起来的。看看在这个过程中，我们的逻辑究竟可以严密到什么程度，看看能不能让孩子们也体会到这种严密。

毕竟，爱因斯坦也说了：“如果欧几里得的《几何原本》未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”

【07后记】

这是我的【陪小孩子读《几何原本》】系列的第2篇，我希望能用非常通俗的语言带着小孩子来一起读《几何原本》，培养小孩子严密的科学思维。

为什么是《几何原本》？我在之前的文章(几何原本VS九章算术，中西数学的差别在哪里？和重新认识《几何原本》，致那些年白学的几何(完整版))里也写了。我对《几何原本》之推崇，社群里的朋友都清楚，而且大家也非常清楚我对小孩子科学教育之重视。

我之前一直想等我把手头物理的东西写完一段之后再来专门写《几何原本》，但一合计，发现要真这样，那还不知道得等到猴年马月去呢，小孩子的科学教育刻不容缓啊。

我给社群里很多家长都推荐了《几何原本》，但是感觉一般的家长很难把《几何原本》的妙处给孩子讲出来，这样要是一个不留神，把学习《几何原本》变成了机械的做几何证明题，那我这就白瞎了。所以，还是我来带带吧。

于是，就有了【陪小孩子读《几何原本》】系列。

因为我的时间实在是太太太太紧张了，相对论的文章都还有一大波人在催呢，所以我腾不出太多时间来倒腾这个事。然后，大家看到这文章就比较随意，文章一次就写完定稿，也没有花时间去逐字校对，这个主要的精神把握住了就行了。

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