达布定理
定义
#Darboux's theorem#;
在区间 I I I上可导的函數, 其导函数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)在区间 I I I上具有介值定理 (即: f ′ ( I ) f'(I) f′(I)值域集合 是个区间);
性质
#推论#
如果 f f f在 I I I区间上可导, 且 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)在 I I I上不连续 则 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)在 I I I上的间断点 一定是震荡间断点;
. 证明 (反证法):
. 1: 不会是第一类间断点, 因为如果 f ′ ( x 0 − ) , f ′ ( x 0 + ) f'(x_0 -), f'(x_0 +) f′(x0−),f′(x0+)都存在 (注意这是前提), 因为导数代表趋势 而且函数在区间 I I I上连续, 他们三者 会是相同的 即: f ′ ( x 0 − ) = f ′ ( x 0 + ) = f ′ ( x 0 ) f'(x_0 - ) = f'(x_0 + ) = f'(x_0) f′(x0−)=f′(x0+)=f′(x0);
. 2: 不会是无穷间断点, 否定就不满达布定理里的介值定理了;
错误
#函数f在区间 I I I上可导 ⟹ \implies ⟹ f ′ ( x ) f'(x) f′(x)在区间 I I I上连续#
@MARK: @LOC_0;
这是错误的! 因为达布定理说* f ′ ( I ) f'(I) f′(I)值域集合是个区间* 可不表明 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)在 I I I上是连续的;
很容易觉得这是正确的 (因为 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)在区间 I I I上有界 这是肯定的), 但有界 不代表 连续;
比如 f ( x ) = x 2 ∗ s i n ( 1 / x ) f(x)=x^2 * sin(1/x) f(x)=x2∗sin(1/x)(补充定义 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0), 其在 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1]上可导 (因为 f ′ ( 0 ) = lim x → 0 x ∗ s i n ( 1 / x ) = 0 f'(0) = \lim_{x \to 0} x * sin(1/x) = 0 f′(0)=limx→0x∗sin(1/x)=0);
. 但是他的导数为 2 x ∗ s i n ( 1 / x ) − c o s ( 1 / x ) 2x*sin(1/x) - cos(1/x) 2x∗sin(1/x)−cos(1/x), f ′ ( 0 − ) = f ′ ( 0 + ) = 2 − c o s ( 1 / x ) f'(0-) = f'(0+) = 2 - cos(1/x) f′(0−)=f′(0+)=2−cos(1/x)为震荡发散, 故 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)在 0 0 0处 是震荡间断点;
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