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随机过程复习（六）布朗运动

科技前沿 • • 阅读 53

随机过程复习（六）布朗运动1 布朗运动的定义 随机过程满足以下条件时 称为布朗运动过程 1 X 0 0 2 是独立平稳增量过程 3 对于固定时间的 是均值为 0 方差为的正态随机变量 布朗运动过程简称布朗运动

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1. 布朗运动的定义

        随机过程\{X(t), t\geq 0\}
讯享网满足以下条件时，称为布朗运动过程：

（1）X(0)=0;

（2）\{X(t), t\geq 0\}是独立平稳增量过程；

（3）对于固定时间的t_f，X(t_f)是均值为0, 方差为\sigma^2t_f的正态随机变量。

        布朗运动过程简称布朗运动，也称维纳过程。可以得到布朗运动的分布函数为

f(x,t)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2t}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2t}\right\}

当\sigma^2=1时，称\{X(t), t\geq 0\}为标准布朗运动。任意布朗运动X(t)都可以通过令B(t)=\frac{X(t)}{\sigma}而转化为标准布朗运动。

2. 布朗运动的性质

2.1 布朗运动的性质

布朗运动\{X(t), t\geq 0\}具有以下性质：

（1）增量具有正态性。布朗运动的增量服从正态分布，即X(t)-X(s)~N(0,t-s).

（2）增量是平稳的。即对于给定任意s>0，X(t+s)-X(t)的分布是不依赖于t.

（3）增量是独立的。

（4）路径是连续的。X(t)在t=0右连续，但处处不可导。

        设\{X(t), t\geq 0\}是随机过程，如果它的有限维分布对空间平移保持不变，即

\begin{aligned} &P\{X(t_1)\leqslant x_1,X(t_2)\leqslant x_2,\cdots,X(t_n)\leqslant x_n|X(0)=0\} \\ =& P\{X(t_1)\leqslant x_1+x,X(t_2)\leqslant x_2+x,\cdots,X(t_n)\leqslant x_n+x \\ &|X(0)=x\} \end{aligned}

则称此过程为空间齐次的。

        可以看出，布朗运动过程具有空间齐次性。

2.2 布朗运动轨道的性质

        设\{B(t), t\geq 0\}为标准布朗运动，则对任意固定的t\geq 0，有

P\left\{\lim\sup_{h\to0}\left|\frac{B(t+h)-B(t)}h\right|=+\infty\right\}=1

由上述定理可知，布朗运动的轨道具有以下性质：对任意的t\geq 0，几乎对所有的轨道ω，B(t)关于t都没有有限的导数。

2.3 布朗运动的马尔可夫性

        首先回顾连续状态空间马尔可夫过程的定义。

        设\{X(t), t\geq 0\}是一个连续时间随机过程，如果对任何t,s>0，有

P\{X(t+s)\leqslant y|\mathcal{F}_t\}=P\{X(t+s)\leqslant y| X(t)\}

则称\{X(t), t\geq 0\}为马尔可夫过程，这里\mathcal{F}_t=\sigma\{X(u), 0\leq u\leq t\}表示由\{X(u),0\leq u \leq t\}所生成的\sigma -域。上式即称马尔可夫性。

        

        设\{B(t), t\geq 0\}是轨道连续的正态过程，B(0)=0，\forall s,t>0，有E\{B(t)\}~=~0,~E[B(s)B(t)]=s\wedge t，则\{B(t), t\geq 0\}是标准布朗运动；反之亦然。

2.4 布朗运动的鞅性

        设\{B(t), t\geq 0\}是布朗运动，则：

（1）\{B(t), t\geq 0\}是鞅

（2）\{B(t)^2-t, t\geq 0\}是鞅

（3）对任何实数u，\{e^{uB(t)-\frac{u^2}2t},t\geqslant0\}是鞅

（4）对任何实数u，\{e^{iuB(t)+\frac{u^2}2t},t\geqslant0\}是鞅

3. 最大值与首中时

        标准布朗运动\{B(t), t\geq 0\}中，首次击中点a的时刻T_a是一随机过程，称为首中时（首达时间），即

T_a=\inf\{t:t>0,B(t)=a\}

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