二维几何变换

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图像的二维几何变换主要包含：刚性变换（rigidity）、相似变换（similarity）、仿射变换（affine）。三者之间的关系如下图所示：

一、齐次坐标

1、什么是齐次坐标

齐次坐标就是用一个n+1维向量表示n维向量

2、为什么要引入齐次坐标？

仿射变换是指在向量空间中进行一次线性变换(乘以一个矩阵)和一次平移(加上一个向量)，变换到另一个向量空间的过程。对于二维坐标系上的一个点（x，y），经过仿射变换后的点的坐标是（u，v），其数学表达式如下：

$\small \begin{bmatrix} u\\ v \end{bmatrix}=A\cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+B$ ，其中 $\small A=\begin{bmatrix} a &b \\ d& e \end{bmatrix}$ ， $\small B=\begin{bmatrix} c\\ f \end{bmatrix}$

缩放和旋转通过矩阵乘法实现，平移通过矩阵加法实现。通常情况下，几何变换不是单一的，一个物体可能涉及平移、旋转、缩放等多个变换，为了减少计算量，可以将多个变换矩阵合并为一个最终变换矩阵M = [ A B ]。此时几何变换的数学表达式如下：

$\small \begin{bmatrix} u\\ v \end{bmatrix}=M\cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a &b & c\\ d & e & f \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

但我们发现，永远也找不到这样的矩阵M，因为上面的等式是不成立的。为了解决这个问题，我们就增加一个维度，也就是构造齐次坐标矩阵，其数学表达式如下：

$\small \begin{bmatrix} u\\ v\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b& c\\ d & e &f \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}$

由上式看出仿射变换矩阵有a、b、c、d、e、f六个未知数，因此至少需要六个方程来求解，即需要三个坐标点对。

二、刚性变换

刚性变换最重要的特点就是变换前后目标 任意两点间距离不变，包含平移、旋转、翻转（镜像）三种。

1、平移

Halcon中向齐次变换矩阵添加平移分量的算子有以下两个：

（1）相对于全局（即固定）坐标系执行平移

hom_mat2d_translate( : : HomMat2D, Tx, Ty : HomMat2DTranslate)

变换矩阵链如下：

$\tiny HomMat2DTranslate=\begin{bmatrix} 1 & 0 & Tx\\ 0 & 1 &Ty \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}\cdot HomMat2D=\begin{bmatrix} 1 & 0 & Tx\\ 0 & 1 &Ty \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a & b &c \\ d&e &f \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b & Tx+c\\ d & e &Ty+f \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}$

（2）相对于局部坐标系（即图像原点，左上角）执行平移

hom_mat2d_translate_local( : : HomMat2D, Tx, Ty : HomMat2DTranslate)

变换矩阵链如下：

$\tiny HomMat2DTranslate= HomMat2D\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0 & Tx\\ 0 & 1 &Ty \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a & b &c \\ d&e &f \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0 & Tx\\ 0 & 1 &Ty \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b & aTx+bTy+c\\ d & e &dTx+eTy+f \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}$

注意：齐次矩阵以元组的形式逐行存储，最后一行通常不存储，因为它对于描述仿射变换的所有齐次矩阵都是相同的。如下所示：

$\begin{bmatrix} a & b &c \\ d&e &f \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

只存储 [a, b, c, d, e, f]

（3）

举例说明两个平移算子的区别：

dev_close_window () dev_open_window (0, 0, 512, 512, 'white', WindowID) dev_set_draw ('margin') gen_rectangle1 (Rectangle, 200, 100, 400, 300) area_center (Rectangle, Area, Row, Column) *创建一个齐次单位矩阵，并添加缩放分量 hom_mat2d_identity (HomMat2DIdentity) hom_mat2d_scale (HomMat2DIdentity, 0.5, 0.5, Row, Column, HomMat2DScale) *相对于全局坐标系平移 dev_set_color ('green') hom_mat2d_translate (HomMat2DScale, 5, 5, HomMat2DTranslate1) affine_trans_region (Rectangle, RegionAffineTrans1, HomMat2DTranslate1, 'nearest_neighbor') *相对于局部坐标系平移 dev_set_color ('blue') hom_mat2d_translate_local (HomMat2DScale, 5, 5, HomMat2DTranslate2) affine_trans_region (Rectangle, RegionAffineTrans2, HomMat2DTranslate2, 'nearest_neighbor')

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一、齐次坐标

二、刚性变换

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