平面上两直线的夹角求法解析
一、内容概述
在2004年审定的人教A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到．但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：
讯享网，平面向量中直线法向量夹角的余弦
及直线方向向量夹角的余弦
的应用来进行考查．
二、基本概念
①平面上直线方程的两种常用表示：
直线的点斜式方程：
；
直线的一般式方程：
不全为
．
②平面上两条相交直线夹角的概念：
平面上两条相交直线
，
所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角．
③平面上两条直线所成角的范围：
如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为
；
如果两条直线垂直，规定它们的夹角为
；
如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角范围为
．
④平面上直线的方向向量：
基线与平面上一条直线
平行或重合的向量
，叫做直线的方向向量；
直线点斜式方程
的一个方向向量为
．
⑤平面上直线的法向量：
基线与平面上一直线垂直的向量
，叫做直线的法向量；
直线的一般式方程
不全为的一个法向量为
．
三、理论推导
1.已知倾斜角
，根据两角差的正切公式
求两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系
中，直线的倾斜角为
，直线的倾斜角为
．
假设
为直线，所成的一角，显然
，则
，由公式得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角
范围是，所以
．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角
．
2.已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为，一法向量
；直线的一般式方程为
，一法向量
．
假设
为直线，所成的一角，显然
（左图）或
（右图）由法向量夹角的余弦得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以
．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角
．
3.已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦求平面上两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的点斜式方程为
，一方向向量
；直线的点斜式方程为
，一方向向量
．
假设为直线，所成的角，显然
（左图）或
（右图），由方向向量夹角的余弦得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角
．
注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量，也可以求出直线点斜式方程的某个法向量．但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别：两直线夹角的范围是
，即
的三角函数值一定是非负的
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