在现实生活中，有许多应用场景会包含很多点以及点点之间的连接，而这些应用场景我们都可以用即将要学习的图这种数据结构去解决。

1、图的定义及分类

图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成的

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 图的分类：

按照连接两个顶点的边的不同，可以把图分为以下两种：

2、无向图

1、图的相关术语

相邻顶点：

当两个顶点通过一条边相连时，我们称这两个顶点是相邻的，并且称这条边依附于这两个顶点。

度：

某个顶点的度就是依附于该顶点的边的个数

子图：

是一幅图的所有边的子集(包含这些边依附的顶点)组成的图；

路径：

是由边顺序连接的一系列的顶点组成

环：

是一条至少含有一条边且终点和起点相同的路径

 连通图：

如果图中任意一个顶点都存在一条路径到达另外一个顶点，那么这幅图就称之为连通图

 连通子图：

一个非连通图由若干连通的部分组成，每一个连通的部分都可以称为该图的连通子图

 2、图的存储结构

要表示一幅图，只需要表示清楚以下两部分内容即可：

1. 图中所有的顶点；

2. 所有连接顶点的边；

常见的图的存储结构有两种：邻接矩阵和邻接表

1、邻接矩阵

1. 使用一个V*V的二维数组int[V][V] adj,把索引的值看做是顶点；

2. 如果顶点v和顶点w相连，我们只需要将adj[v][w]和adj[w][v]的值设置为1,否则设置为0即可。

很明显，邻接矩阵这种存储方式的空间复杂度是 V^2的，如果我们处理的问题规模比较大的话，内存空间极有可能不够用。

2、邻接表

1.使用一个大小为V的数组 Queue[V] adj，把索引看做是顶点；

2.每个索引处adj[v]存储了一个队列，该队列中存储的是所有与该顶点相邻的其他顶点

 很明显，邻接表的空间并不是是线性级别的，所以后面我们一直采用邻接表这种存储形式来表示图。

3、实现

package graph; import xianxing.Queue; //图 public class Graph { //顶点数目 private final int V; //边的数目 private int E; //邻接表 private Queue<Integer>[] adj; public Graph(int V){ this.V = V; this.E = 0; this.adj = new Queue[V]; for(int i=0; i<adj.length; i++){ adj[i] = new Queue<>(); } } //获取顶点数目 public int V(){ return V; } //获取边的数目 public int E(){ return E; } //向图中添加一条边 v-w public void addEdge(int v, int w){ adj[v].enqueue(w); adj[w].enqueue(v); E++; } //获取和顶点v相邻的所有顶点 public Queue<Integer> adj(int v){ return adj[v]; } } 

4、图的搜索

在很多情况下，我们需要遍历图，得到图的一些性质，例如，找出图中与指定的顶点相连的所有顶点，或者判定某个顶点与指定顶点是否相通，是非常常见的需求。有关图的搜索，最经典的算法有深度优先搜索和广度优先搜索，接下来我们分别讲解这两种搜索算法。

1、深度优先搜索

所谓的深度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找子结点，然后找兄弟结点。

很明显，在由于边是没有方向的，所以，如果 4和5顶点相连，那么4会出现在5的相邻链表中，5也会出现在4的相邻链表中，那么为了不对顶点进行重复搜索，应该要有相应的标记来表示当前顶点有没有搜索过，可以使用一个布尔类型的数组 boolean[V] marked,索引代表顶点，值代表当前顶点是否已经搜索，如果已经搜索，标记为true，如果没有搜索，标记为false；

讯享网package graph; public class DepthFirstSearch { //索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索 private boolean[] marked; //记录有多少个顶点与s顶点相通 private int count; //构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相邻顶点 public DepthFirstSearch(Graph G,int s){ this.marked = new boolean[G.V()]; this.count = 0; dfs(G,s); } //使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点 private void dfs(Graph G, int v){ marked[v] = true; for(Object w : G.adj(v)){ if(!marked[(int) w]){ dfs(G, (int) w); } } count++; } //判断w顶点与s顶点是否相通 public boolean marked(int w){ return marked[w]; } //获取与顶点s相通的所有顶点的总数 public int count(){ return count; } } 

package test; import graph.DepthFirstSearch; import graph.Graph; public class DepthFirstSearchTest { public static void main(String[] args) { Graph graph = new Graph(13); graph.addEdge(0,5); graph.addEdge(0,1); graph.addEdge(0,2); graph.addEdge(0,6); graph.addEdge(5,3); graph.addEdge(5,4); graph.addEdge(3,4); graph.addEdge(4,6); graph.addEdge(7,8); graph.addEdge(9,11); graph.addEdge(9,10); graph.addEdge(9,12); graph.addEdge(11,12); DepthFirstSearch search = new DepthFirstSearch(graph,0); System.out.println("相通的顶点数量："+search.count()); System.out.println("5是否相通："+search.marked(5)); System.out.println("7是否相通："+search.marked(7)); } } 

2、广度优先搜索

所谓的深度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找兄弟结点，然后找子结点。

讯享网package graph; import xianxing.Queue; public class BreadthFirstSearch { private boolean[] marked; private int count; //用来存储待搜索邻接表的点 private Queue<Integer> waitSearch; public BreadthFirstSearch(Graph G,int s){ this.marked = new boolean[G.V()]; this.count = 0; this.waitSearch = new Queue<>(); bfs(G,s); } private void bfs(Graph G, int v){ marked[v] = true; waitSearch.enqueue(v); while(!waitSearch.isEmpty()){ Integer wait = waitSearch.dequeue(); for(Object w : G.adj(wait)){ if(!marked[(int)w]){ bfs(G,(int)w); } } } count++; } public boolean marked(int w){ return marked[w]; } public int count(){ return count; } } 

 5、路径查找

在实际生活中，地图是我们经常使用的一种工具，通常我们会用它进行导航，输入一个出发城市，输入一个目的地城市，就可以把路线规划好，而在规划好的这个路线上，会路过很多中间的城市。这类问题翻译成专业问题就是：从s顶点到v顶点是否存在一条路径？如果存在，请找出这条路径。

我们实现路径查找，最基本的操作还是得遍历并搜索图，所以，我们的实现暂且基于深度优先搜索来完成。其搜索的过程是比较简单的。我们添加了edgeTo[]整型数组，这个整型数组会记录从每个顶点回到起点s的路径。

如果我们把顶点设定为0，那么它的搜索可以表示为下图：

package graph; import xianxing.Stack; public class DepthFirstPaths { private boolean[] marked; //起点 private int s; //索引代表顶点，值代表从起点s到顶点路径上的最后一个顶点 private int[] edgeTo; public DepthFirstPaths(Graph G, int s){ this.marked = new boolean[G.V()]; this.edgeTo = new int[G.V()]; this.s = s; dfs(G,s); } private void dfs(Graph G, int s){ marked[s] = true; for(Object w : G.adj(s)){ if(!marked[(int) w]){ edgeTo[(int) w] = s; dfs(G, (int)w); } } } public boolean hasPathTo(int w){ return marked[w]; } //找出从起点s到顶点v的路径 public Stack<Integer> pathTo(int v){ if(hasPathTo(v)){ return null; } Stack stack = new Stack(); for(int i=v; i!=s;i=edgeTo[i]){ stack.push(i); } stack.push(s); return stack; } }