2025年原函数存在性定理

科技前沿 • 2025-02-06 08:07 • 阅读 65

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1.1.原函数存在性定理

（1）连续函数 $f (x)$ 必有原函数
（2）含有第一类间断点，无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内必没有原函数

连续函数一定存在原函数，反之是不对的
有第一类间断点的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能有原函数，如： $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ， $f(x)=\left\{\begin{aligned} 2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{aligned}\right.$ ，显然有 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ，但 $x = 0$ 为 $f (x)$ 的第二类间断点

1.2.定积分存在性充分条件

（1）若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\int_{a}^{b} f(x) d x$ 存在。
（2）若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上单增，则 $\int_{a}^{b} f(x) d x$ 存在。
（3）若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $\int_{a}^{b} f(x) d x$ 存在。

1.3.定积分存在性必要条件

1.4.变限积分的性质

函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则函数 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上连续。
函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则函数 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上可导。

1.5.变上限积分函数

设 $f (x)$ 连续或有有限个第一类间断点，令 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则：当 $x_0$ 为 $f (x)$ 的第一类间断点时， $F (x)$ 在 $x=x_0$ 处连续；当 $x_0$ 为 $f (x)$ 的连续点时， $F (x)$ 在 $x=x_{0}$ 处可导。

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1.6.可积函数与原函数不同

如 $f(x)=\left\{\begin{aligned} \ln (1+x), & x>0 \\ e^{x}, & x \leqslant 0 \end{aligned}\right.$ ，显然 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上可积，且

$\begin{aligned} \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x &=\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} \ln (1+x) \mathrm{d} x=1-\mathrm{e}^{-1}+\left.x \ln (1+x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} \mathrm{d} x \\ &=1-\mathrm{e}^{-1}+\ln 2-\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+x}\right) \mathrm{d} x=2 \ln 2-\frac{1}{\mathrm{e}} \end{aligned}$