0. 基础知识
0.1 线加速度
上一篇中我们讲到了在坐标系{A}和坐标系{B}原点重合时， B Q ^BQ BQ的速度矢量的表示方式：
A V Q ^AV_Q AVQ = B A R B V Q ^A_BR^BV_Q BARBVQ + A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ (5.1)
我们可以将左侧改写为如下形式：
d d t \frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}t} dtd( B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ) = B A R B V Q ^A_BR^BV_Q BARBVQ + A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ (5.2)
记住这种形式的方程，会在求解加速度方程时很有用。
接下来推导线加速度的公式，大家一起动手推一下吧！
对式5.1求导，可得当坐标系{A}和坐标系{B}原点重合时， B Q ^BQ BQ的加速度在坐标系{A}中的表达式：
A V ˙ Q ^A\dot{V}_Q AV˙Q = d d t \frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}t} dtd( B A R B V Q ^A_BR^BV_Q BARBVQ) + A Ω ˙ B ^A\dot{\Omega}_B AΩ˙B × \times × B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ + A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × d d t \frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}t} dtd( B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ) (5.3)
对式5.3右侧的第一项和最后一项代入式5.2，整理后可得，
A V ˙ Q ^A\dot{V}_Q AV˙Q = B A R B V ˙ Q ^A_BR^B\dot{V}_Q BARBV˙Q + 2 A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × B A R B V Q ^A_BR^BV_Q BARBVQ + A Ω ˙ ^A\dot{\Omega} AΩ˙ × \times × B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ + A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × ( A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ) (5.4)
将上式扩展到原点不重合的情况，就得到了一般的表达式：
A V ˙ Q ^A\dot{V}_Q AV˙Q = A V ˙ B O R G ^A\dot{V}_{BORG} AV˙BORG + B A R B V ˙ Q ^A_BR^B\dot{V}_Q BARBV˙Q + 2 A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × B A R B V Q ^A_BR^BV_Q BARBVQ + A Ω ˙ ^A\dot{\Omega} AΩ˙ × \times × B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ + A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × ( A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ) (5.5)
另外要指出，当计算旋转关节时， B Q ^BQ BQ为常量，那么，
B V Q ^BV_Q BVQ = B V ˙ Q ^B\dot{V}_Q BV˙Q = 0
因此相应地，式5.5就可以简化为：
A V ˙ Q ^A\dot{V}_Q AV˙Q = A V ˙ B O R G ^A\dot{V}_{BORG} AV˙BORG + A Ω ˙ ^A\dot{\Omega} AΩ˙ × \times × B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ + A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × ( A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × B A R B Q ^A_BR^BQ BARBQ) (5.6)
0.2 角加速度
接下来我们推导角加速度公式。假设坐标系{B}以角速度 A Ω B ^A\Omega_B AΩB相对于坐标系{A}转动，同时坐标系{C}以角速度 B Ω C ^B\Omega_C BΩC相对于坐标系{B}转动。
A Ω C ^A\Omega_C AΩC = A Ω B ^A\Omega_B AΩB + B A R B Ω C ^A_BR^B\Omega_C BARBΩC (5.7)
对式5.6求导可得，
A Ω ˙ C ^A\dot{\Omega}_C AΩ˙C = A Ω ˙ B ^A\dot{\Omega}_B AΩ˙B + d d t ( B A R B Ω C ) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(^A_BR^B\Omega_C) dtd(BARBΩC) (5.8)
同样我们将式5.2带入上式最后一项，可以得到，
A Ω ˙ C ^A\dot{\Omega}_C AΩ˙C = A Ω ˙ B ^A\dot{\Omega}_B AΩ˙B + B A R B Ω ˙ C ^A_BR^B\dot{\Omega}_C BARBΩ˙C + A Ω B ^A\Omega_B AΩB × \times × B A R B Ω C ^A_BR^B\Omega_C BARBΩC (5.9)
上式用于计算机械臂连杆的角加速度。
0.3 质量分布
这里引入惯性张量（inertia tensor） 的概念，他可以表征刚体质量分布的方式，是对物体惯性矩的广义度量。给出如下3 × \times × 3矩阵，
A I ^AI AI = ( I x
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