2025年从1到n整数中1出现的次数：O(logn)算法

科技前沿 • 2025-02-18 23:44 • 阅读 43

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

1. 题目描述

输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

2. 题目来源

第一次看到是在《剑指Offer》第2版上，面试题32。leetcode和牛客网上都有这道题。

3. 本文的目的

看了《剑指Offer》上的解法，我觉得不能算好：

这段解释描述有些不清晰，而且没有图，难以理解。
从书中给出的实现上来看，显得有些凌乱。

在这篇博客里，会给出一个我对这道题的解法，包括完整的解题思路，完整代码，时间复杂度分析，以及在leetcode和牛客网上的提交结果。

4. 解题思路

考虑将n的十进制的每一位单独拿出讨论，每一位的值记为weight。

1) 个位

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以534为例，在从1增长到n的过程中，534的个位从0-9变化了53次，记为round。每一轮变化中，1在个位出现一次，所以一共出现了53次。
再来看weight的值。weight为4，大于0，说明第54轮变化是从0-4，1又出现了1次。我们记1出现的次数为count，所以：
count = round+1 = 53 + 1 = 54
如果此时weight为0（n=530），说明第54轮到0就停止了，那么：
count = round = 53

2) 十位

不同点在于：从1到n，每增加10，十位的weight才会增加1，所以，一轮0-9周期内，1会出现10次。即rount*10。
再来看weight的值。当此时weight为3，大于1，说明第6轮出现了10次1，则：
count = round*10+10 = 5*10+10 = 60
如果此时weight的值等于0（n=504），说明第6轮到0就停止了，所以：
count = round*10+10 = 5*10 = 50
如果此时weight的值等于1（n=514），那么第6轮中1出现了多少次呢？很明显，这与个位数的值有关，个位数为k，第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。我们记个位数为former，则：
count = round*10+former +1= 5*10+4 = 55

3) 更高位

更高位的计算方式其实与十位是一致的，不再阐述。

4) 总结

若个位大于0，1出现的次数为round*1+1
若个位等于0，1出现的次数为round*1

则：

若weight为0，则1出现次数为round*base
若weight为1，则1出现次数为round*base+former+1
若weight大于1，则1出现次数为rount*base+base

比如：

534 = （个位1出现次数）+（十位1出现次数）+（百位1出现次数）=（53*1+1）+（5*10+10）+（0*100+100）= 214
530 = （53*1）+（5*10+10）+（0*100+100） = 213
504 = （50*1+1）+（5*10）+（0*100+100） = 201
514 = （51*1+1）+（5*10+4+1）+（0*100+100） = 207
10 = (1*1)+(0*10+0+1) = 2

5. 完整代码

public int count(int n){ if(n<1) return 0; int count = 0; int base = 1; int round = n; while(round>0){ int weight = round%10; round/=10; count += round*base; if(weight==1) count+=(n%base)+1; else if(weight>1) count+=base; base*=10; } return count; }

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6. 时间复杂度分析

由分析思路或者代码都可以看出，while循环的次数就是n的位数,logn（以10为底），而循环体内执行的操作都是有限次的，所以时间复杂度为O(logn)。

7. 提交结果

牛客网：

8. 小结

还有一些其它的题目，我找到了我认为比较好的解法，或者是性能较好，或者是在同等复杂度下更易于理解。后面会慢慢增加。