前置知识：第二类换元法
题1： 计算 ∫ 1 x 10 + x d x \int\dfrac{1}{x^{10}+x}dx ∫x10+x1dx
解：
\uad 令 x = 1 t x=\dfrac 1t x=t1， t = 1 x t=\dfrac 1x t=x1， d x = − 1 t 2 d t dx=-\dfrac{1}{t^2}dt dx=−t21dt
\uad 原式 = ∫ 1 1 t 10 + 1 t ⋅ ( − 1 t 2 ) d t = − ∫ t 8 1 + t 9 d t =\int \dfrac{1}{\frac{1}{t^{10}}+\frac 1t}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt=-\int\dfrac{t^{8}}{1+t^9}dt =∫t101+t11⋅(−t21)dt=−∫1+t9t8dt
= − 1 9 ln ( 1 + t 9 ) + C = − 1 9 ln ( 1 + 1 x 9 ) + C \uad\uad =-\dfrac 19\ln(1+t^9)+C=-\dfrac 19\ln(1+\dfrac{1}{x^9})+C =−91ln(1+t9)+C=−91ln(1+x91)+C
题2： 计算 ∫ 1 x ( x 7 + 1 ) d x \int\dfrac{1}{x(x^7+1)}dx ∫x(x7+1)1dx
解：
\uad 令 x = 1 t x=\dfrac 1t x=t1， t = 1 x t=\dfrac 1x t=x1， d x = − 1 t 2 d t dx=-\dfrac{1}{t^2}dt dx=−t21dt
\uad 原式 = ∫ 1 1 t 8 + 1 t ⋅ ( − 1 t 2 ) d t = − ∫ t 6 1 + t 7 d t =\int\dfrac{1}{\frac{1}{t^8}+\frac 1t}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt=-\int\dfrac{t^6}{1+t^7}dt =∫t81+t11⋅(−t21)dt=−∫1+t7t6dt
= − 1 7 ln ( 1 + t 7 ) + C = − 1 7 ln ( 1 + 1 x 7 ) + C \uad\uad =-\dfrac 17\ln(1+t^7)+C=-\dfrac 17\ln(1+\dfrac{1}{x^7})+C =−71ln(1+t7)+C=−71ln(1+x71)+C
题3： 计算 ∫ 1 ( 1 + x ) 1 − x − x 2 d x \int\dfrac{1}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}dx ∫(1+x)1−x−x21dx
解：
\uad 令 1 + x = 1 t 1+x=\dfrac 1t 1+x=t1， t = 1 1 + x t=\dfrac{1}{1+x} t=1+x1， d x = − 1 t 2 d t dx=-\dfrac{1}{t^2}dt dx=−t21dt
\uad 原式 = ∫ 1 ( 1 + x ) 1 + ( x + 1 ) − ( x + 1 ) 2 d x = ∫ 1 1 t 1 + 1 t − 1 t 2 ⋅ ( − 1 t 2 ) d t =\int\dfrac{1}{(1+x)\sqrt{1+(x+1)-(x+1)^2}}dx=\int\dfrac{1}{\frac 1t\sqrt{1+\frac 1t-\frac{1}{t^2}}}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt =∫(1+x)1+(x+1)−(x+1)21dx=∫t11+t1−t211⋅(−t21)dt
= − ∫ 1 t 2 + t − 1 d t = − ∫ 1 ( t + 1 2 ) 2 − 5 4 d t \uad\uad =-\int\dfrac{1}{\sqrt{t^2+t-1}}dt=-\int\dfrac{1}{\sqrt{(t+\frac 12)^2-\frac 54}}dt =−∫t2+t−11dt=−∫(t+21)2−451dt
= − ln ∣ ( t + 1 2 ) + t 2 + t − 1 ∣ + C \uad\uad =-\ln|(t+\dfrac 12)+\sqrt{t^2+t-1}|+C =−ln∣(t+21)+t2+t−1∣+C
= ln ∣ 3 + x + 2 1 − x − x 2 2 ( 1 + x ) ∣ + C \uad\uad =\ln|\dfrac{3+x+2\sqrt{1-x-x^2}}{2(1+x)}|+C =ln∣2(1+x)3+x+21−x−x2∣+C
由直接积分法可得 ∫ d x x 2 − a 2 = ln ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C ∫x2−a2dx=ln∣x+x2−a2∣+C，同样也可得 ∫ d x ( x + k ) 2 − a 2 = ln ∣ ( x + k ) + ( x + k ) 2 − a 2 ∣ + C \int\dfrac{dx}{\sqrt{(x+k)^2-a^2}}=\ln|(x+k)+\sqrt{(x+k)^2-a^2}|+C ∫(x+k)2−a2dx=ln∣(x+k)+(x+k)2−a2∣+C。
所以解题过程中 − ∫ 1 ( t + 1 2 ) 2 − 5 4 d t = − ln ∣ ( t + 1 2 ) + t 2 + t − 1 ∣ + C -\int\dfrac{1}{\sqrt{(t+\frac 12)^2-\frac 54}}dt=-\ln|(t+\dfrac 12)+\sqrt{t^2+t-1}|+C −∫(t+21)2−451dt=−ln∣(t+21)+t2+t−1∣+C
总结
观察被积函数，若分母比较复杂，令 x = 1 t x=\dfrac 1t x=t1，有时可以令 x + a = 1 t x+a=\dfrac 1t x+a=t1，然后进行转换，利用被积函数的特性来求解。
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