1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3 是连续的自然数，自然数都是整数，所以1,2,3是连续的整数。这没错。
自然数也都是实数，所以 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3 是连续的实数。这就不对了。为什么不对？可以简单的认为在自然数和整数上定义的连续有相同的意义。而在实数上的不同。不同在那里呢？说几个自然数连续。是指几个自然数之间没有间隔其他自然数。说实数是连续的…… 有连续的几个实数吗？感觉没有，如果说实数的连续问题，好像都是关于函数的。当我们说实数函数在某个点连续，意思是说函数上的这个点两边都有可以无限趋近的点在函数上。好像和自然数上说的连续完全不是一个画风。
那么，为什么它们都叫连续。能不能统一这两个连续呢？
首先来搞清楚连续的自然数作为实数就不连续的问题。因为作为自然数，它们之间是可能没有其他自然数的，但作为实数，任何两个实数之间都还是有其他实数的。所以有限个实数是不可能连续的，但无限个实数就可能连续了。所以我们可以说连续的区间(由于我们说区间时常常是指连续的区间，为了避免混淆，下面说到同时包括连续和不连续的区间时，使用一个更大的概念 —— 集合)。不管自然数还是实数都可以说某个集合是连续或不连续的。如果一个集合 S ⊆ F S \subseteq \mathbb F S⊆F存在最大值 b b b和最小值 a a a，如果 ∀ x ∈ F , a ≤ x ≤ b \forall x \in \mathbb F, a \le x \le b ∀x∈F,a≤x≤b，则 x ∈ S x \in S x∈S，那么 S S S是连续的。
无论 F \mathbb F F是自然数还是实数，这个说法都是正确的。
按这样的定义，能回答一个这样的问题，存不存在有限个有理数是连续的？因为有理数是可数的，所以感觉上似乎能找出连续的有限个有理数，但按照上面的定义，会发现是做不到的，因为任意两个有理数 a , b a,b a,b之间我们都能找出 ( a + b ) / 2 (a+b)/2 (a+b)/2同样是有理数。
连续的自然数不是连续的实数
连续的自然数不是连续的实数1 2 3 1 2 3 1 2 3 是连续的自然数 自然数都是整数 所以 1 2 3 是连续的整数 这没错 自然数也都是实数 所以 1 2
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