数学向量基本知识
1.向量相关定义
2.向量的线性运算
3.向量积与数量积
向量积与数量积的区别
| 名称 | 标积/内积/数量积/点积 | 矢积/外积/向量积/叉积 |
|---|---|---|
| 运算式（a，b和c粗体字，表示向量） | a·b=|a||b|·cosθ | a×b=c，其中|c|=|a||b|·sinθ，c的方向遵守右手定则 |
| 几何意义 | 向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积 | c是垂直a、b所在平面，且以 |
| 运算结果的区别 | 标量（常用于物理）/数量（常用于数学） | 矢量（常用于物理）/向量（常用于数学） |
3.1 向量积
向量积可以被定义为：
模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）
方向： a向量与b向量的向量积c的方向与这两个向量所在平面垂直，遵守右手定则（右手法则：用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。 ）
公式： 设a=(x1,y1,z1),b=(x12,y2,z2)，i，j，k分别是X，Y，Z轴方向的单位向量，则axb等于如下（借助三阶行列式运算，就是这样定义的）。从结果我们看出还保留向量的基本单位i、j、k，所以结果也是一个向量，既有大小，又有方向：axb=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)
二维向量叉乘公式a（x1，y1），b（x2，y2），则a×b＝（x1y2－x2y1），不需要证明的就是定义的运算。
三维叉乘是行列式运算，也是叉积的定义，你把第三维看做0代入就行了。
几何意义：
以向量a和向量b构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。
3.1 数量积
向量点乘（内积）：
点乘（Dot Product）的结果是点积，又称数量积或标量积（Scalar Product）,结果就是个数，把方向给抹去了。向量是有两个属性的：大小和方向，点乘的结果就是得到一个标量。相等于降维了。
定义为：对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作，其结果即为点积。
从这个结果来看，就知道没有方向属性，只是数字之间的运行，最终结果也是数字。
从几何角度看，点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。点乘的结果表示向量A在向量B方向上的投影与向量B模的的乘积
点乘的意义：
- 两个向量在一个向量方向的共同积累的结果，但是这种结果只保留的大小属性，抹去了方向这个属性；
- 同时反映了两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似；
- 基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向，是否正交垂直，具体对应关系为：
大于0.则方向基本相同，夹角在0°到90°之间
0则正交，相互垂直
小于0则方向基本相反，夹角在90°到180°之间
垂直和正交的区别：
法向量与平面
法向量：垂直于平面的向量称为该平面的法向量(normal vector)
假设平面上的一个定点为，平面上的任何其它点为，平面的法向量为：
向量 位于平面上，且与法向量 垂直，因此：
R3中平面的一般形式即：
总结：法向量和平面上的一个定点，可以定义该平面
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