2025年数理方程的求解——定解问题的介绍

科技前沿 • 2025-04-08 07:06 • 阅读 27

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定解问题 1. 泛定方程（描述物理问题的偏微分方程） 2.定解条件初始条件和边界条件

初始条件

初始条件有几个，要看对时间求导的阶数，如果是一阶，需要一个，n阶需要n个，因为在最后通解的表达式里面，一定会出现n个待定的参数，需要n个初始条件去给出他的值

M表示空间中的一个点

1. $\mu(m,t)|_{t=0}=g(m)$
讯享网，时间取0的时候，是空间坐标的函数

2. $\mu_t(M,t)|_{t=0}=h(M)$ 给出导数的值

初始条件有多少个，就看你求到多少阶

边界条件

可以分类：

第一类边界条件：也称为（狄氏边界条件） $\mu(m,t)|_{\Gamma}=\phi(t)$ ，这个点落在边界上这个场的值取 $\phi$

如果 $\mu|_{\Gamma}=0$ 称为齐次狄氏边界条件（homogeneous）,不等于0即称作非齐次(imhomogeneous)

第二类边界条件：也称为（Newmann 条件），这个条件是给定了物理的场量沿着法线方向导数的值，也就是 $\mu_n|_{\Gamma}=\frac{\partial \mu}{\partial n}|_{M \in \Gamma} =\phi(t)$ ,一般情况下是时间t的函数，如果是0，称为齐次，第二类齐次边界条件，一维就是 $\frac{\partial \mu}{\partial x}$

第三类边界条件：也称为混合边界条件，可以表达为 $(\alpha \mu +\beta \mu_n)_{\Gamma}=\phi(t)$ ，有时候也可以写成 $(\mu+h\mu_n)_{\Gamma}=\frac{1}{\alpha}\phi(t)$

vanishing boundary condition 在数学表示零边界条件 VBC

non-vanishing boundary condition 在数学表示非零边界条件 NVBC

定解问题

我们对定解问题进行分类：

1.哥西问题：特点：只有初始条件，没有边界条件（无需边界条件），一般是处理无界问题（比如马上要学的无界波动问题，只有初始条件，无需边界条件）

2.狄氏问题：是只有边界条件，不需要初始条件，这种问题称为狄里克莱问题

3.混合问题：既有初始条件，又有边界条件，称为混合型问题，是混合型的定界问题，比如我们后面学的有界弦的振动问题（既有初始条件又有边界条件），在一定区域内的热传导问题

例子

我们再对定界条件，分类给出一些例子，具体的物理问题里面，有哪些情况属于各自对应的条件

例子一：

给定有界弦的波动方程 $\mu_{tt}-a^2\mu_{xx}=f(x,t)$ ,左端固定给出条件， $\mu(x,t)|_{x=0}=\mu (0,t)=0$

左端是一个齐次的第一类边界条件，（VBC），右端 $\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=L}=0(\mu_x(L,t)=0)$ ， $\frac{F}{S}=-Y\frac{\partial \mu}{\partial x}$ 应力与应变成比例，如果是自由端，应变等于0，所以我们可以列出右端边界条件（第二类齐次边界条件）

例子二：

一个杆下端加上一个恒定的质量， $-F=-mg=-Ys\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=L}$ ，这个时候边界条件是 $\frac{\partial \mu}{\partial x}|_{x=L}=\frac{mg}{YS}=f_0$ ，是一个常数，叫做非齐次第二类边界条件

例子三

如果一个杆上面有机械波，杆的右端放上一个弹簧，弹簧的弹性系数为k，如果有波动，右端的边界条件 $k\mu+YS \frac{\partial \mu}{\partial x}=0$ ，截面处左右力的大小相等

实战四

连续但是不光滑的第一类齐次边界条件

两端固定的弦，初始我们把这个弦，撩起来，假设 x=x_0 ，撩开的距离为，然后放手，弦开始振动，初始条件： t=0, x=x_0 处，被撩开h的距离，每一点的初始速度是0， $\mu_t (x,0)=0$ ，假设位置处于x，这两个线性函数在 x_0 处连续，但是在这一点不光滑，所以初始条件是分段的， $\mu(x,0)$ 分为两段