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有趣的数学 求和符号Σ (sigma)简述

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有趣的数学 求和符号Σ (sigma)简述一 简单相加 符号 sigma 通常用于表示多个项的总和 这个符号通常伴随着一个索引 该索引变化以包含总和中必须考虑的所有术语 例如 第一个整数的和可以用以下方式表示 或者 这两种表示意思都是一样的 更一般地说 表达式表示 n 项的总和 1 示例 1

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一、简单相加

        符号∑（sigma）通常用于表示多个项的总和。这个符号通常伴随着一个索引，该索引变化以包含总和中必须考虑的所有术语。

        例如，݊第一个整数的和可以用以下方式表示：\sum_{i=1}^{n} i= 1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n
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        或者，这两种表示意思都是一样的。

         更一般地说，表达式\sum_{i=1}^{n} x_i表示n项的总和x_1+x_2+x_3+\cdot \cdot \cdot +x_n

1、示例1

        给定x_1 = 3，x_2=5，x_3=6，x_4=2，x_5=7。

        分别计算\sum_{i=1}^{5} x_i和\sum_{i=2}^{4} x_i。

 2、简单规则

        下图中c代表常数。

        规则一中的常数可以提取出来。

        规则二中的求和等于n个c相乘。

        规则三中的相加等于分别求和。

3、示例2

        给定x_1 = 3，x_2=5，x_3=6，x_4=2，x_5=7。并且y_1 = 2，y_2=8，y_3=3，y_4=1，y_5=6。

        分别计算\sum_{i=1}^{5} 4x_i，\sum_{i=1}^{5} 4，\sum_{i=1}^{5} (x_i+y_i)。

        从上面公式可知

（1）\sum_{i=1}^{5} 4x_i

 

（2） \sum_{i=1}^{5} 4

 

（3） \sum_{i=1}^{5} (x_i+y_i)

 4、需要注意

        和不是一回事。

         和不是一回事。

 5、示例3

         给定x_1 = 3，x_2=5，x_3=6，x_4=2，x_5=7。并且y_1 = 2，y_2=8，y_3=3，y_4=1，y_5=6。

 

二、双索引的情况

1、示例1

        给定x_1 = 3，x_2=5，x_3=1。并且y_1 = 2，y_2=4。

        我们将对x的项使用索引i，对y的项使用索引j。

         于是我们的到如下

          为了表示表格或矩阵的数据，我们经常见到或使用双索引表示法，如x_{ij}其中第一索引（i）对应于数据所在的行的编号，第二索引（j）对应于列。例如，术语x_{24}表示位于表或矩阵的第2行和第4列的交叉点处的数据。

2、示例2

        给定如下矩阵定义

         

        要求一行的项的和，我们必须固定该行的索引，并对所有可能的值更改列的索引。例如：

        下图分别计算了第一行和第二行的和。

         要求一列的项的和，必须固定该列的索引，并对所有可能的值更改行的索引。

        下图计算了第四列的和

         要对表中的所有项求和，必须更改两个索引并使用双和：

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