2025年差分算法（分析）

科技前沿 • 2025-03-06 11:13 • 阅读 37

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差分算法是一种在程序设计中用于处理序列数据的算法思想。它的基本思想是通过对原始数据序列进行一定的变换，将复杂问题转化为简单问题，进而求解原问题。差分算法的主要应用场景包括求解序列的极限、求解最值问题、求解单调性问题等。

差分算法的核心思想是通过对序列中的相邻元素求差，得到一个新的序列，然后通过对新序列的分析来获取原序列的信息。差分算法可以分为一阶差分、二阶差分、高阶差分等。
一阶差分：对序列中的相邻元素求差，得到一个新的序列。例如，给定序列{a1, a2, a3, ..., an}，其一阶差分序列{Δa1, Δa2, Δa3, ..., Δan}，其中Δai = ai+1 - ai。
二阶差分：对一阶差分序列中的相邻元素求差，得到一个新的序列。例如，给定序列{a1, a2, a3, ..., an}，其二阶差分序列{Δ2a1, Δ2a2, Δ2a3, ..., Δ2an}，其中Δ2ai = Δai+1 - Δai。
高阶差分：对二阶差分序列中的相邻元素求差，得到一个新的序列。以此类推，可以得到更高阶的差分序列。
求解等差数列的通项公式：对于等差数列，其一阶差分序列是一个常数序列，可以通过对差分序列的分析求解等差数列的通项公式。
求解等比数列的通项公式：对于等比数列，其一阶差分序列是一个等比数列，可以通过对差分序列的分析求解等比数列的通项公式。

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求解函数的极限：对于某些函数的极限问题，可以通过差分法将其转化为简单函数的极限问题求解。
求解最值问题：对于某些最值问题，可以通过差分法找出函数的驻点，进而求解最值。
求解单调性问题：对于某些单调性问题，可以通过差分法判断函数的单调性。
对于一阶差分算法的理解直接带入类比等差数列理解就行了。把每一项的差都求出来记录在里一个数组中。假设他是一个等差数列对(l~r)的几项+p;那么（differ（l）+p,differ（r+1）-p)然后前缀求和便可求出。（出现+-p的原因是我们操作的是差，给变一个后面的也随之改变通过加减变取消了对后面的影响）

例

//小明的彩灯 #include<iostream> using namespace std; //差分算法 void diff(int n,int *arr,int *arr1,int l,int r,int p) { for(int i=1;i<=n;i++) arr1[i]=arr[i]-arr[i-1]; arr1[l]=arr1[l]+p; arr1[r+1]=arr1[r+1]-p; //计算操作后的的arr //此时arr的值为arr[i]=arr[i-1]+arr1[i]; for(int i=1;i<=n;i++) { arr[i]=arr[i-1]+arr1[i]; } } int main() { int n,m,l,r,p; cin>>n>>m; int arr[10],arr1[10]; arr[0]=0,arr1[0]=0; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>arr[i]; while(m--) { cin>>l>>r>>P; diff(n,arr,arr1,l,r,p); for(int i=1;i<=n;i++) cout<<arr[i]<<" "; cout<<endl; } return 0; }

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